Задание 12. ABCD — прямоугольник. Найдите углы α и β, используя данные рисунка. 1) Диагональ AC образует с AD угол 40°; α расположен между AB и AC, β — между AC и BC. 2) Диагональ BD образует с CD угол 65°; α расположен у B между AB и BD, β — у B между BD и BC. 5) Диагонали пересекаются в O; угол между OB и OC равен 70°; α — угол между AB и OB, β — угол между CD и OD. 6) Диагонали пересекаются в O; угол между OC и верхней стороной BC равен 25°; α — левый угол при O, β — угол между BD и нижней стороной AD. 9) Диагонали пересекаются в O; верхний угол BOC равен 130°; α — левый угол при O, β — угол между BC и BD. 10) Диагональ AC образует с BC угол 50°; из O опущен перпендикуляр OH на AD; α — угол между OH и OD, β — угол между AC и AD.

1) Вершина A прямоугольника — прямой угол, поэтому \(\alpha+40°=90°\), откуда \(\alpha=50°\). Стороны AD и BC параллельны, поэтому угол между AC и BC равен углу между AC и AD: \(\beta=40°\).

2) Вершина B — прямой угол. Угол между AB и BD равен углу между CD и BD, то есть 65° (AB ∥ CD). Поэтому \(\alpha=90°-65°=25°\), а \(\beta=65°\).

5) Поскольку AB ∥ CD, диагональ BD образует с вертикальными сторонами равные углы, значит \(\beta=70°\). Диагональ AC образует с AB угол, равный углу между BD и CD, поэтому \(\alpha=70°\).

6) Диагональ AC образует с горизонтальной стороной угол 25°. Диагонали прямоугольника симметричны относительно горизонтали, поэтому угол между ними слева равен \(\alpha=2\cdot25°=50°\), а \(\beta=25°\).

9) Вертикальные углы равны, поэтому левый угол при O: \(\alpha=130°\). Смежный с ним угол между диагоналями равен \(180°-130°=50°\). Диагонали прямоугольника симметричны относительно горизонтали, следовательно, каждая образует с вертикальной стороной угол \(\beta=65°\).

10) Угол между AC и вертикальной стороной BC равен 50°. Так как AB перпендикулярна BC, угол между AC и AD равен \(\beta=90°-50°=40°\). Диагональ BD образует с горизонталью такой же острый угол 40°. OH перпендикулярен AD, следовательно, угол между OH и OD равен \(\alpha=90°-40°=50°\).

Ответ: 1) α = 50°, β = 40°; 2) α = 25°, β = 65°; 5) α = 70°, β = 70°; 6) α = 50°, β = 25°; 9) α = 130°, β = 65°; 10) α = 50°, β = 40°.