Задание 12. ABCD — прямоугольник. Найдите углы α и β, используя данные рисунка. 1) У диагонали AC угол с AD равен 40°; α расположен между AB и AC, β — между BC и AC. 5) Угол между AB и BD равен 70°; α расположен между AC и CD, β — между BD и CD. 9) Угол между лучами OB и OC равен 130°; α — смежный с ним угол при пересечении диагоналей, β расположен между AC и CD.

1. В прямоугольнике угол A равен 90°, поэтому \(\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ\). Поскольку AD параллельна BC, соответствующий угол \(\beta=40^\circ\).
2. В прямоугольнике угол B равен 90°, поэтому диагональ BD образует с BC угол \(90^\circ-70^\circ=20^\circ\). Из параллельности BC и AD угол между BD и CD равен \(\beta=70^\circ\). Диагонали прямоугольника симметричны относительно горизонтального направления, поэтому AC образует с BC угол 20° и с CD угол \(\alpha=70^\circ\).
3. Угол \(\alpha\) смежный с углом 130°, значит \(\alpha=180^\circ-130^\circ=50^\circ\). Диагонали образуют острый угол 50°; каждая из них составляет с горизонтальной стороной половину этого угла, то есть 25°. Поэтому угол диагонали AC с вертикальной стороной CD равен \(\beta=90^\circ-25^\circ=65^\circ\).

Ответ: 1) α = 50°, β = 40°; 5) α = 70°, β = 70°; 9) α = 50°, β = 65°.