Задание 12. Крыша дома имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 8м. Апофема наклонена к плоскости основания под углом 60° Найдите площадь для покраски данной крыши.

Решение:

Крыша дома имеет форму четырёхугольной пирамиды. Для покраски нам нужна площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:

• Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды \( a = 8 \text{ м} \)
• Угол наклона апофемы к плоскости основания \( \alpha = 60^{\circ} \)

Найти:

• Площадь боковой поверхности пирамиды \( S_{бок} \)

1. Найдём апофему пирамиды.

Апофема \( L \) — это высота боковой грани пирамиды. В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и высотой пирамиды. Угол между апофемой и плоскостью основания — это угол между апофемой и её проекцией на плоскость основания, которая равна половине стороны основания.

В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой \( L \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и высотой пирамиды \( h \), угол между апофемой \( L \) и \( \frac{a}{2} \) равен \( 60^{\circ} \).

У нас есть половина стороны основания: \( \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ м} \).

Из прямоугольного треугольника имеем:

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a/2}{L} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{4}{L} \)

Мы знаем, что \( \cos(60^{\circ}) = 0.5 \) (или \( \frac{1}{2} \)).

\( 0.5 = \frac{4}{L} \)

\( L = \frac{4}{0.5} = 8 \text{ м} \)

2. Найдём площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{апофема} \)

Периметр основания \( P = 4 \times a = 4 \times 8 = 32 \text{ м} \).

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 32 \text{ м} \times 8 \text{ м} \)

\( S_{бок} = 16 \times 8 \text{ м}^2 \)

\( S_{бок} = 128 \text{ м}^2 \)

Ответ: Площадь для покраски крыши составляет 128 м².