Задание 12. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} \frac{1-5y}{\sqrt{-x-4}} = -\sqrt{-x-4} \\ 7|x| - 4|y+1| = 28,16 \end{cases} \)

Решение:

Сначала рассмотрим первое уравнение системы: \( \frac{1-5y}{\sqrt{-x-4}} = -\sqrt{-x-4} \).

1. Условия допустимости:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равным нулю. Следовательно, \( -x - 4 > 0 \), что означает \( -x > 4 \), или \( x < -4 \). Также, \( y+1 \) может быть любым действительным числом.

2. Преобразуем первое уравнение:

Умножим обе части уравнения на \( \sqrt{-x-4} \):

\( 1-5y = -(\sqrt{-x-4})^2 \)

\( 1-5y = -(-x-4) \)

\( 1-5y = x+4 \)

Выразим \( y \) через \( x \):

\( -5y = x + 4 - 1 \)

\( -5y = x + 3 \)

\( y = \frac{x+3}{-5} = -\frac{x+3}{5} \)

3. Подставим во второе уравнение:

Второе уравнение: \( 7|x| - 4|y+1| = 28,16 \).

Учитывая условие \( x < -4 \), \( |x| = -x \).

Подставим \( y = -\frac{x+3}{5} \) в \( |y+1| \):

\( y+1 = -\frac{x+3}{5} + 1 = \frac{-(x+3) + 5}{5} = \frac{-x-3+5}{5} = \frac{-x+2}{5} \).

Теперь подставим \( |x| \) и \( |y+1| \) во второе уравнение:

\( 7(-x) - 4 \left| \frac{-x+2}{5} \right| = 28,16 \)

\( -7x - \frac{4}{5} |-x+2| = 28,16 \)

4. Анализ знака \( |-x+2| \):

Так как \( x < -4 \), то \( -x > 4 \). Следовательно, \( -x+2 > 4+2=6 \). Значит, \( |-x+2| = -x+2 \).

Подставим это в уравнение:

\( -7x - \frac{4}{5} (-x+2) = 28,16 \)

\( -7x - \frac{4}{5}(-x) - \frac{4}{5}(2) = 28,16 \)

\( -7x + \frac{4x}{5} - \frac{8}{5} = 28,16 \)

Приведём к общему знаменателю 5:

\( \frac{-35x + 4x}{5} - 1,6 = 28,16 \)

\( \frac{-31x}{5} = 28,16 + 1,6 \)

\( \frac{-31x}{5} = 29,76 \)

\( -31x = 5 \cdot 29,76 \)

\( -31x = 148,8 \)

\( x = \frac{148,8}{-31} \)

\( x = -4,8 \)

5. Проверка условия \( x < -4 \):

\( -4,8 < -4 \). Условие выполняется.

6. Найдём \( y \):

\( y = -\frac{x+3}{5} = -\frac{-4,8+3}{5} = -\frac{-1,8}{5} = \frac{1,8}{5} = 0,36 \)

7. Проверим второе уравнение:

\( 7|x| - 4|y+1| = 7|-4,8| - 4|0,36+1| = 7(4,8) - 4|1,36| = 33,6 - 4(1,36) = 33,6 - 5,44 = 28,16 \).

Второе уравнение выполняется.

Ответ: \( x = -4,8; \quad y = 0,36 \).