Задание 12. Решите уравнения: а) \(\sqrt{3x^2-x}=1-x\); б) \(\sqrt{5x^2-x}+\sqrt{2x-5}=0\); в) \(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[6]{x+3}=0\).

а) Так как левая часть неотрицательна, необходимо \(1-x\geq0\), то есть \(x\leq1\).

Возводим обе части в квадрат:

\[3x^2-x=(1-x)^2,\]

\[3x^2-x=1-2x+x^2,\]

\[2x^2+x-1=0.\]

Дискриминант:

\[D=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9.\]

Корни:

\[x_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{-1-3}{4}=-1.\]

Оба корня удовлетворяют условию \(x\leq1\).

б) Оба слагаемых неотрицательны. Их сумма равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

\[\sqrt{5x^2-x}=0,\qquad \sqrt{2x-5}=0.\]

Из второго равенства получаем:

\[2x-5=0,\qquad x=\frac52.\]

Но при \(x=\frac52\):

\[5x^2-x=5\cdot\frac{25}{4}-\frac52=\frac{115}{4}\neq0.\]

Следовательно, общих корней нет.

в) Перенесём второй корень:

\[\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[6]{x+3}.\]

Правая часть неотрицательна, поэтому обе части можно возвести в шестую степень. Обозначим \(t=\sqrt[3]{x+1}\), где \(t\geq0\). Тогда:

\[x+1=t^3,\qquad x+3=t^6.\]

Вычитая первое равенство из второго, получаем:

\[2=t^6-t^3.\]

Пусть \(y=t^3\). Тогда:

\[y^2-y-2=0.\]

Дискриминант:

\[D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)=9.\]

\[y_1=\frac{1+3}{2}=2,\qquad y_2=\frac{1-3}{2}=-1.\]

Так как \(y=t^3\geq0\), берём \(y=2\). Поэтому:

\[x+1=2,\qquad x=1.\]

Проверка: \(\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{4}\).

Ответ: а) \(x=-1;\ \frac12\); б) решений нет; в) \(x=1\).