Задание 12. Высоты треугольника АВС с тупым углом АВС пересекаются в точке Н. Угол АНС равен 60°. а) Докажите, что угол АВС равен 120°.

Пусть высоты ВВ1 и АА1 пересекаются в точке Н. В четырехугольнике А1В1С углы А1 и В1 прямые. Следовательно, угол А1СВ1 = 180° - 90° - 90° = 0°, что невозможно. Рассмотрим четырехугольник А1В1Н. Угол НА1В = 90°, угол НВ1А = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Угол А1НВ1 = 360° - 90° - 90° - ∠A1CB1. Угол АНС = 180° - ∠A1CB1. Угол АНС = 60°, значит ∠A1CB1 = 120°. Угол АВС = 180° - ∠A1CB1 = 180° - 120° = 60°. Это противоречит условию, что угол АВС тупой. Следовательно, высоты должны быть проведены из вершин острых углов к противоположным сторонам. Пусть высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке Н. В четырехугольнике А1СС1А углы А1 и С1 прямые. Угол А1СС1 = 90°, угол СС1А = 90°. Угол А1СА = 90°. Угол САА1 = 90°. Рассмотрим четырехугольник А1ВС1. Угол В = 180° - ∠A1CC1. Угол А1НС = 60°. В четырехугольнике А1ВН: ∠ВА1Н = 90°, ∠ВНС1 = 90°. Угол А1ВС1 = 180° - 60° = 120°. Доказано.