Задание 13. Докажите, что неравенство верно при любом значении переменной: 1) (2x + 1)(x + 3) > x(2x + 7); 2) 6a + 2(a − 5) < 8a − 7; 3) 9 + 2n(8n − 4) > 4(n − 1)²; 4) (y + 2)(y − 2) > y² − 5; 5) m² − 6m < (3m − 1)².

Раскроем скобки и перенесём выражения в одну сторону:

\((2x+1)(x+3)-x(2x+7)=2x^2+7x+3-(2x^2+7x)=3\).

Получаем \(3>0\), что верно при любом \(x\).

Упростим обе части:

\(6a+2(a-5)=8a-10\).

Тогда неравенство равносильно \(8a-10<8a-7\), то есть \(-10<-7\). Это верно при любом \(a\).

Раскроем скобки и сравним части:

\(9+2n(8n-4)=16n^2-8n+9\), а \(4(n-1)^2=4n^2-8n+4\).

Разность левой и правой частей равна \(12n^2+5\). Поскольку \(n^2\ge 0\), имеем \(12n^2+5>0\) при любом \(n\).

Используем формулу разности квадратов:

\((y+2)(y-2)=y^2-4\).

Неравенство равносильно \(y^2-4>y^2-5\), то есть \(-4>-5\). Это верно при любом \(y\).

Вычтем левую часть из правой и раскроем квадрат:

\((3m-1)^2-(m^2-6m)=9m^2-6m+1-m^2+6m=8m^2+1\).

Так как \(m^2\ge 0\), то \(8m^2+1>0\) при любом \(m\). Следовательно, данное неравенство верно.