Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задание 13. Найдите периметр ромба ABCD, используя данные рисунка. 1) AB = 6. 2) AD = 3. 3) BC = 2,5. 4) ∠A = 60°, BD = 7. 5)…Фото задания

Ответ:

  1. У ромба все стороны равны, поэтому периметр равен четырём сторонам: \(P=4\cdot AB=4\cdot6=24\).

  2. \(P=4\cdot AD=4\cdot3=12\).

  3. \(P=4\cdot BC=4\cdot2{,}5=10\).

  4. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Пусть их пересечение — \(O\). Тогда \(BO=\frac{BD}{2}=3{,}5\). При \(\angle A=60^\circ\) диагональ \(AC\) делит угол пополам, значит \(\angle BAO=30^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(AOB\), \(\sin30^\circ=BO/AB\), откуда \(AB=7\). Поэтому \(P=28\).

  5. Треугольник \(ABH\) прямоугольный при \(H\), а \(\angle ABH=30^\circ\). Сторона \(AH=5\) противолежит углу \(30^\circ\), поэтому гипотенуза \(AB=2\cdot5=10\). Следовательно, \(P=40\).

  6. Поскольку \(DH\perp BC\) и \(H\) лежит на \(BC\), треугольник \(DHC\) прямоугольный. Диагональ ромба \(BD\) биссектрисса угла \(D\); из \(\angle A=30^\circ\) следует \(\angle CDB=15^\circ\), а значит \(\angle CDH=15^\circ\) (так как \(DH\perp BC\)). Тогда \(DH=CD\cos15^\circ\), и \(CD=7/\cos15^\circ\). Однако на рисунке H находится на стороне BC, а отрезок DH перпендикулярен BC; угол между DH и DC составляет 75°, так что \(DH=DC\sin75^\circ=DC\cos15^\circ\). Получаем \(P=28/\cos15^\circ=28(\sqrt6+\sqrt2)\).

  7. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике \(AOB\) угол при \(A\) равен половине \(\angle A=30^\circ\), то есть \(15^\circ\), а \(BO=4\). Поэтому \(\sin15^\circ=4/AB\), откуда \(AB=4(\sqrt6+\sqrt2)\). Следовательно, \(P=16(\sqrt6+\sqrt2)\).

  8. \(OD=3\), а \(\angle C=30^\circ\), поэтому диагональ \(AC\) делит этот угол пополам: \(\angle OCD=15^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(COD\) сторона \(OD\) противолежит углу \(15^\circ\), значит \(CD=3/\sin15^\circ=3(\sqrt6+\sqrt2)\). Тогда \(P=12(\sqrt6+\sqrt2)\).

  9. Диагональ \(BD\) делит угол \(D\) пополам, а \(O\) лежит на ней, поэтому \(\angle ADO=60^\circ\). Диагонали перпендикулярны, следовательно, треугольник \(AOD\) прямоугольный при \(O\). Здесь \(AO=BO=3{,}5\), а \(\sin60^\circ=AO/AD\), откуда \(AD=7/\sqrt3\). Тогда \(P=28/\sqrt3=28\sqrt3/3\).

Ответ: 1) 24; 2) 12; 3) 10; 4) 28; 5) 40; 6) \(28(\sqrt6+\sqrt2)\); 7) \(16(\sqrt6+\sqrt2)\); 8) \(12(\sqrt6+\sqrt2)\); 9) \(28\sqrt3/3\).