Задание 13. Отрезок AB пересекает отрезок CD, причём точки A и B не лежат на прямой CD. Точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что отрезок MN пересекает прямую CD.

Обозначим через P точку пересечения отрезков AB и CD. Так как A и B не лежат на прямой CD, точка P находится между A и B.

Пусть точка P делит AB в отношении AP:PB = t:(1−t), где 0 < t < 1. Тогда P = (1−t)A + tB. Поскольку P лежит на CD, существуют числа u и v такие, что P = (1−u)C + uD.

По определению середин M = (A+C)/2 и N = (B+D)/2. Поэтому середина отрезка MN имеет радиус-вектор

\[\frac{M+N}{2}=\frac{A+B+C+D}{4}.\]

Из равенства выражений для P следует A+B+C+D = 2P + (1−2t)(A−B) + (1−2u)(C−D), что само по себе не гарантирует середину MN на CD; вместо этого рассмотрим ориентированные расстояния до прямой CD.

Обозначим ориентированные расстояния от A и B до CD через a и b. Поскольку AB пересекает CD, числа a и b имеют противоположные знаки. Точки C и D лежат на CD, поэтому ориентированные расстояния от M и N до CD равны соответственно a/2 и b/2. Они также имеют противоположные знаки. Следовательно, отрезок MN пересекает прямую CD.

Что и требовалось доказать.