Задание 13. В конус вписан шар, при этом отношение полной поверхности конуса к поверхности шара равно к. Найти угол между образующей и высотой конуса и допустимые значения к.

Решение:

Обозначим:

• $$R$$ — радиус основания конуса
• $$H$$ — высота конуса
• $$L$$ — образующая конуса
• $$r$$ — радиус вписанного шара

Полная поверхность конуса $$S_{кон}$$ равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

$$S_{кон} = \pi RL + \pi R^2 = \pi R(L+R)$$

Площадь поверхности шара $$S_{шар}$$ равна:

$$S_{шар} = 4\pi r^2$$

По условию задачи, $$S_{кон} / S_{шар} = k$$, то есть:

$$\frac{\pi R(L+R)}{4\pi r^2} = k \implies \frac{R(L+R)}{4r^2} = k$$

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса, имеем:

$$L^2 = R^2 + H^2$$

Радиус вписанного шара $$r$$ в конус можно найти по формуле:

$$r = \frac{RH}{R+L}$$

Из этой формулы выразим $$R+L$$:

$$R+L = \frac{RH}{r}$$

Подставим это в выражение для $$k$$:

$$k = \frac{R(\frac{RH}{r})}{4r^2} = \frac{R^2H}{4r^3}$$

Теперь выразим $$H$$ через $$R$$ и $$L$$. Из $$L^2 = R^2 + H^2$$, следует $$H = \sqrt{L^2 - R^2}$$.

Подставим $$H$$ в выражение для $$k$$:

$$k = \frac{R^2 \sqrt{L^2 - R^2}}{4r^3}$$

Также, из формулы $$r = \frac{RH}{R+L}$$, имеем $$r(R+L) = RH$$. Возведём в квадрат:

$$r^2(R+L)^2 = R^2H^2 = R^2(L^2 - R^2)$$

$$r^2(R^2 + 2RL + L^2) = R^2L^2 - R^4$$

Разделим обе части на $$R^4$$:

$$\frac{r^2}{R^2} (1 + 2\frac{L}{R} + \frac{L^2}{R^2}) = \frac{L^2}{R^2} - 1$$

Пусть $$\tan \alpha = \frac{R}{H}$$ — половина угла при вершине конуса, и $$\cos \alpha = \frac{H}{L}$$. Тогда $$\sin \alpha = \frac{R}{L}$$.

Угол между образующей и высотой конуса — это угол при вершине треугольника, который мы обозначим $$\beta$$. Тогда $$\tan \beta = \frac{R}{H}$$.

Из подобия треугольников, радиус вписанного шара $$r$$ равен:

$$r = R \sin \beta = R \frac{R}{L} = \frac{R^2}{L}$$

Тогда $$L = \frac{R^2}{r}$$.

Теперь подставим $$L$$ в выражение для $$k$$:

$$k = \frac{R(L+R)}{4r^2} = \frac{R(\frac{R^2}{r} + R)}{4r^2} = \frac{R^2(\frac{R}{r} + 1)}{4r^2} = \frac{R^3(R+r)}{4r^3}$$

Из $$r = R \frac{R}{L}$$ имеем $$\frac{R}{L} = \frac{r}{R}$$.

Из $$L^2 = R^2 + H^2$$ и $$\tan \beta = R/H$$, $$\sin \beta = R/L$$, $$\cos \beta = H/L$$.

$$r = R \sin \beta
=> \sin \beta = r/R$$.

$$S_{кон} = \pi R L + \pi R^2 = \pi R^2 (\frac{L}{R} + 1)$$.

$$S_{шар} = 4 \pi r^2$$.

$$k = \frac{\pi R^2 (\frac{L}{R} + 1)}{4 \pi r^2} = \frac{R^2}{4r^2} (\frac{L}{R} + 1)$$.

Так как $$\sin \beta = R/L$$, то $$L/R = 1/\sin \beta$$.

$$k = \frac{R^2}{4r^2} (\frac{1}{\sin \beta} + 1) = \frac{R^2}{4r^2} \frac{1+\sin \beta}{\sin \beta}$$.

Из $$r = R \sin \beta$$, то $$R = r/\sin \beta$$.

$$k = \frac{(r/\sin \beta)^2}{4r^2} \frac{1+\sin \beta}{\sin \beta} = \frac{r^2}{4r^2 \sin^2 \beta} \frac{1+\sin \beta}{\sin \beta} = \frac{1}{4 \sin^3 \beta} (1+\sin \beta)$$.

Обозначим $$x = \sin \beta$$. Тогда $$k = \frac{1+x}{4x^3}$$.

Угол между образующей и высотой конуса — это угол $$\beta$$. Угол при основании конуса равен $$90^ - \beta$$. В прямоугольном треугольнике $$\tan \beta = R/H$$.

Значения $$k$$ допустимы, когда $$\beta$$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, т.е. $$0 < \beta < 90^$$. Следовательно, $$0 < \sin \beta < 1$$.

Рассмотрим функцию $$f(x) = \frac{1+x}{4x^3}$$ при $$x (0, 1)$$.

$$f'(x) = \frac{1 4x^3 - (1+x) 12x^2}{(4x^3)^2} = \frac{4x - 4x^2 - 12x^2}{16x^6} = \frac{4x - 16x^2}{16x^6} = \frac{1 - 4x}{4x^5}$$.

$$f'(x) = 0$$ при $$1 - 4x = 0
=> x = 1/4$$.

При $$x < 1/4$$, $$f'(x) > 0$$ (функция возрастает).

При $$x > 1/4$$, $$f'(x) < 0$$ (функция убывает).

Следовательно, при $$x = 1/4$$ достигается максимум.

Максимальное значение $$k$$ при $$x = 1/4$$:

$$k_{max} = \frac{1 + 1/4}{4(1/4)^3} = \frac{5/4}{4/64} = \frac{5}{4} \frac{64}{4} = 5 4 = 20$$.

При $$x → 0^+$$, $$k → +∞$$.

При $$x → 1^-$$, $$k = \frac{1+1}{4(1)^3} = \frac{2}{4} = 1/2$$.

Таким образом, допустимые значения $$k$$ находятся в интервале $$(1/2, +∞)$$.

Чтобы найти угол $$\beta$$, нужно решить уравнение $$k = \frac{1+\sin \beta}{4\sin^3 \beta}$$.

Ответ: Угол между образующей и высотой конуса равен $$\beta$$, где $$\tan \beta = R/H$$. Допустимые значения $$k$$ принадлежат интервалу $$(\frac{1}{2}, \infty)$$.