Задание 14. ABCD — ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка. 1) ∠A = 36°; 2) ∠C = 15°; 3) ∠B = 112°; 4) ∠D = 100°; 5) угол между AB и AC равен 40°; 6) ∠A = 70°; 7) ∠B = 122°; 8) внешний угол при D равен 35°; 9) внешний угол при A равен 80°; 10) BH ⟂ AD, угол между BH и BD равен 25°; 11) BH ⟂ AD и AH = HD; 12) BH ⟂ AD и AH = HD.

Используем свойства ромба: противоположные углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, а диагонали делят углы пополам и перпендикулярны.

1. β = ∠C = ∠A = 36°; α = ∠B = 180° − 36° = 144°. α = 144°, β = 36°.
2. β = ∠A = ∠C = 15°; α = ∠D = 180° − 15° = 165°. α = 165°, β = 15°.
3. α = ∠D = ∠B = 112°; β = ∠A = 180° − 112° = 68°. α = 112°, β = 68°.
4. ∠B = ∠D = 100°, поэтому ∠A = ∠C = 80°. Диагональ AC делит углы A и C пополам: α = β = 40°. α = 40°, β = 40°.
5. AC делит угол A пополам, поэтому ∠A = 80° и ∠B = 100°. Диагонали перпендикулярны, значит α = 90°. Диагональ BD делит угол D пополам: β = 100° ÷ 2 = 50°. α = 90°, β = 50°.
6. ∠B = 180° − 70° = 110°. Диагональ BD делит этот угол пополам: α = 55°, β = 55°.
7. ∠A = 180° − 122° = 58°. Диагональ AC делит его пополам: α = 29°, β = 29°.
8. Внутренний угол D смежен с внешним: ∠D = 180° − 35° = 145°. Тогда ∠B = 145°, а ∠A = 35°. α = 35°, β = 145°.
9. ∠A равен вертикальному углу, отмеченному 80°, то есть ∠A = 80°. Поэтому ∠B = 180° − 80° = 100°, а ∠C = 80°. α = 100°, β = 80°.
10. В прямоугольном треугольнике BHD угол BDH = 180° − 90° − 25° = 65°. Так как DH лежит на DA, BD делит угол D пополам: α = 65°, ∠D = 130°. Тогда β = ∠C = 180° − 130° = 50°. α = 65°, β = 50°.
11. H — середина AD и BH ⟂ AD, значит, BH — серединный перпендикуляр к AD, поэтому BA = BD. В ромбе BA = AD; следовательно, треугольник ABD равносторонний. Полный угол D равен 120°, его половина β = 60°, а ∠C = α = 60°. α = 60°, β = 60°.
12. Поскольку H — середина AD и BH ⟂ AD, BH — серединный перпендикуляр к AD, значит BA = BD. Также BA = AD, поэтому треугольник ABD равносторонний. Тогда α = ∠A = 60°, а β = ∠B = 180° − 60° = 120°. α = 60°, β = 120°.