Задание 14. ABCD — ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка: 1) ∠A = 36°, α — угол B, β — угол C; 2) ∠C = 15°, β — угол A, α — угол D; 3) ∠B = 112°, β — угол A, α — угол D; 4) ∠D = 100°, проведена диагональ AC, α — угол между AB и AC, β — угол между AC и CD; 5) проведены диагонали AC и BD, угол между AB и AC равен 40°, α — угол между OB и OC, β — угол между DB и DC; 6) ∠A = 70°, проведена диагональ BD, α и β — углы по обе стороны BD при вершине B; 7) ∠B = 122°, проведена диагональ AC, α и β — части угла A; 8) луч DE продолжает сторону CD, внешний угол между DA и DE равен 35°, α — угол A, β — угол B; 9) прямые EA и AD, а также FA и AB являются продолжениями друг друга, угол EAF равен 80°, α — угол B, β — угол C; 10) проведены диагональ BD и высота BH к AD, ∠HBD = 25°, α — угол BDA, β — угол C; 11) проведена диагональ BD и BH ⟂ AD, AH = BH, α — угол C, β — угол BDC; 12) H лежит на AD, AH = HD, BH ⟂ AD, α — угол A, β — угол HBC.

Question

Вопрос:

Фото задания

Задание 14. ABCD — ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка: 1) ∠A = 36°, α — угол B, β — угол C; 2) ∠C = 15°, β — угол A, α — угол D; 3) ∠B = 112°, β — угол A, α — угол D; 4) ∠D = 100°, проведена диагональ AC, α — угол между AB и AC, β — угол между AC и CD; 5) проведены диагонали AC и BD, угол между AB и AC равен 40°, α — угол между OB и OC, β — угол между DB и DC; 6) ∠A = 70°, проведена диагональ BD, α и β — углы по обе стороны BD при вершине B; 7) ∠B = 122°, проведена диагональ AC, α и β — части угла A; 8) луч DE продолжает сторону CD, внешний угол между DA и DE равен 35°, α — угол A, β — угол B; 9) прямые EA и AD, а также FA и AB являются продолжениями друг друга, угол EAF равен 80°, α — угол B, β — угол C; 10) проведены диагональ BD и высота BH к AD, ∠HBD = 25°, α — угол BDA, β — угол C; 11) проведена диагональ BD и BH ⟂ AD, AH = BH, α — угол C, β — угол BDC; 12) H лежит на AD, AH = HD, BH ⟂ AD, α — угол A, β — угол HBC.

Accepted Answer

Соседние углы ромба в сумме дают 180°, а противоположные равны: α = 180° − 36° = 144°, β = 36°.
Противоположные углы равны, соседние — дополнительные: β = 15°, α = 180° − 15° = 165°.
Углы B и D противоположные, а A соседний с B: α = 112°, β = 180° − 112° = 68°.
∠B = ∠D = 100°, поэтому ∠A = ∠C = 80°. Диагональ ромба делит углы при своих концах пополам: α = 40°, β = 40°.
Диагональ AC делит угол A пополам, значит ∠A = 2 · 40° = 80°. Тогда ∠D = 100°, и диагональ BD делит его пополам: β = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны: α = 90°, β = 50°.
∠B = 180° − 70° = 110°. Диагональ BD делит угол B пополам: α = β = 110° : 2 = 55°.
∠A = 180° − 122° = 58°. Диагональ AC делит угол A пополам: α = β = 58° : 2 = 29°.
Внутренний угол D и указанный внешний угол составляют 180°, поэтому ∠D = 180° − 35° = 145°. Противоположный ему угол B равен 145°, а соседний угол A — 35°: α = 35°, β = 145°.
∠EAF и внутренний угол A — вертикальные, следовательно, ∠A = 80°. Тогда ∠B = 180° − 80° = 100°, а противоположный угол C равен A: α = 100°, β = 80°.
В прямоугольном треугольнике BHD: ∠BDH = 90° − 25° = 65°. Так как H лежит на AD, α = 65°. Диагональ BD делит угол D пополам, значит ∠D = 130°, а ∠C = 180° − 130° = 50°: α = 65°, β = 50°.
Треугольник ABH прямоугольный равнобедренный, поскольку AH = BH, поэтому ∠A = 45°. Тогда противоположный угол C равен 45°, а ∠D = 135°. Диагональ BD делит угол D пополам: α = 45°, β = 135° : 2 = 67,5°.
Так как BH — перпендикуляр к AD и H — середина AD, BH является серединным перпендикуляром к AD, поэтому BA = BD. В ромбе BA = AD, следовательно, в треугольнике ABD все стороны равны; он равносторонний. Значит, ∠A = 60°, ∠ABD = 60°, а ∠ABC = 120°. Высота BH в равностороннем треугольнике также делит угол B пополам, поэтому ∠ABH = 30° и β = ∠HBC = 120° − 30° = 90°: α = 60°, β = 90°.

Ответ: