Задание 14. Докажите неравенство: 1) x² − xy + y² ≥ xy; 2) 2(b² − 3b) ≥ b² − 2b − 4; 3) 2xy ≤ x² + y²; 4) (a + 1)(4a − 2) + (3 − a)(a + 3) > 2(a + a²).

Перенесём правую часть влево и свернём в квадрат:

\(x^2-xy+y^2-xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\ge 0\).

Значит, \(x^2-xy+y^2\ge xy\).

Перенесём правую часть влево:

\(2(b^2-3b)-(b^2-2b-4)=2b^2-6b-b^2+2b+4=(b-2)^2\ge 0\).

Значит, исходное неравенство верно.

Перенесём левую часть вправо и свернём в квадрат:

\(x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\ge 0\).

Следовательно, \(2xy\le x^2+y^2\).

Вычтем правую часть из левой и раскроем скобки:

\((a+1)(4a-2)+(3-a)(a+3)-2(a+a^2)\)

\(=4a^2+2a-2+9-a^2-2a-2a^2= a^2+7\).

Поскольку \(a^2\ge 0\), выражение \(a^2+7>0\). Значит, исходное неравенство верно при любом \(a\).