Задание 14. Найдите точку максимума функции ... 1) y=-\(\frac{x^2+1}{x}\); 2) y=-\(\frac{x}{x^2+169}\); 3) y=-\(\frac{x^2+25}{x}\); 4) y=-\(\frac{x}{x^2+225}\); 5) y=-\(\frac{x^2+36}{x}\); 6) y=-\(\frac{x}{x^2+441}\)

Решение Задания 14

Для нахождения точки максимума функции, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак производной слева и справа от найденных точек.

1) \( y = -\frac{x^2+1}{x} = -x - \frac{1}{x} \)

Найдем производную:

\( y' = -1 - (-\frac{1}{x^2}) = -1 + \frac{1}{x^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( -1 + \frac{1}{x^2} = 0 \)

\( \frac{1}{x^2} = 1 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = \pm 1 \)

Проверим знаки производной:

• При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y' = -1 + \frac{1}{(-2)^2} = -1 + \frac{1}{4} = -0.75 < 0 \) (функция убывает).
• При \( -1 < x < 0 \), например \( x = -0.5 \): \( y' = -1 + \frac{1}{(-0.5)^2} = -1 + \frac{1}{0.25} = -1 + 4 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 1 \), например \( x = 0.5 \): \( y' = -1 + \frac{1}{(0.5)^2} = -1 + \frac{1}{0.25} = -1 + 4 = 3 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y' = -1 + \frac{1}{2^2} = -1 + \frac{1}{4} = -0.75 < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = -1 \).

2) \( y = -\frac{x}{x^2+169} \)

Найдем производную, используя правило для производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

\( u = -x \), \( u' = -1 \)

\( v = x^2+169 \), \( v' = 2x \)

\( y' = -\frac{(-1)(x^2+169) - (-x)(2x)}{(x^2+169)^2} = -\frac{-x^2-169 + 2x^2}{(x^2+169)^2} = -\frac{x^2-169}{(x^2+169)^2} = \frac{169-x^2}{(x^2+169)^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( \frac{169-x^2}{(x^2+169)^2} = 0 \)

\( 169-x^2 = 0 \)

\( x^2 = 169 \)

\( x = \pm 13 \)

Проверим знаки производной (знаменатель всегда положителен):

• При \( x < -13 \), например \( x = -14 \): \( y' = \frac{169 - (-14)^2}{...} = \frac{169 - 196}{...} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -13 < x < 13 \), например \( x = 0 \): \( y' = \frac{169 - 0^2}{...} > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 13 \), например \( x = 14 \): \( y' = \frac{169 - 14^2}{...} = \frac{169 - 196}{...} < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = 13 \).

3) \( y = -\frac{x^2+25}{x} = -x - \frac{25}{x} \)

Найдем производную:

\( y' = -1 - (-\frac{25}{x^2}) = -1 + \frac{25}{x^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( -1 + \frac{25}{x^2} = 0 \)

\( \frac{25}{x^2} = 1 \)

\( x^2 = 25 \)

\( x = \pm 5 \)

Проверим знаки производной:

• При \( x < -5 \), например \( x = -6 \): \( y' = -1 + \frac{25}{(-6)^2} = -1 + \frac{25}{36} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -5 < x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y' = -1 + \frac{25}{(-1)^2} = -1 + 25 = 24 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 5 \), например \( x = 1 \): \( y' = -1 + \frac{25}{1^2} = -1 + 25 = 24 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \( y' = -1 + \frac{25}{6^2} = -1 + \frac{25}{36} < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = -5 \).

4) \( y = -\frac{x}{x^2+225} \)

Найдем производную:

\( y' = -\frac{(-1)(x^2+225) - (-x)(2x)}{(x^2+225)^2} = -\frac{-x^2-225 + 2x^2}{(x^2+225)^2} = -\frac{x^2-225}{(x^2+225)^2} = \frac{225-x^2}{(x^2+225)^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( 225-x^2 = 0 \)

\( x^2 = 225 \)

\( x = \pm 15 \)

Проверим знаки производной:

• При \( x < -15 \), например \( x = -16 \): \( y' = \frac{225 - (-16)^2}{...} = \frac{225 - 256}{...} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -15 < x < 15 \), например \( x = 0 \): \( y' = \frac{225 - 0^2}{...} > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 15 \), например \( x = 16 \): \( y' = \frac{225 - 16^2}{...} = \frac{225 - 256}{...} < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = 15 \).

5) \( y = -\frac{x^2+36}{x} = -x - \frac{36}{x} \)

Найдем производную:

\( y' = -1 - (-\frac{36}{x^2}) = -1 + \frac{36}{x^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( -1 + \frac{36}{x^2} = 0 \)

\( \frac{36}{x^2} = 1 \)

\( x^2 = 36 \)

\( x = \pm 6 \)

Проверим знаки производной:

• При \( x < -6 \), например \( x = -7 \): \( y' = -1 + \frac{36}{(-7)^2} = -1 + \frac{36}{49} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -6 < x < 0 \), например \( x = -1 \): \( y' = -1 + \frac{36}{(-1)^2} = -1 + 36 = 35 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( 0 < x < 6 \), например \( x = 1 \): \( y' = -1 + \frac{36}{1^2} = -1 + 36 = 35 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 6 \), например \( x = 7 \): \( y' = -1 + \frac{36}{7^2} = -1 + \frac{36}{49} < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = -6 \).

6) \( y = -\frac{x}{x^2+441} \)

Найдем производную:

\( y' = -\frac{(-1)(x^2+441) - (-x)(2x)}{(x^2+441)^2} = -\frac{-x^2-441 + 2x^2}{(x^2+441)^2} = -\frac{x^2-441}{(x^2+441)^2} = \frac{441-x^2}{(x^2+441)^2} \)

Приравняем производную к нулю:

\( 441-x^2 = 0 \)

\( x^2 = 441 \)

\( x = \pm 21 \)

Проверим знаки производной:

• При \( x < -21 \), например \( x = -22 \): \( y' = \frac{441 - (-22)^2}{...} = \frac{441 - 484}{...} < 0 \) (функция убывает).
• При \( -21 < x < 21 \), например \( x = 0 \): \( y' = \frac{441 - 0^2}{...} > 0 \) (функция возрастает).
• При \( x > 21 \), например \( x = 22 \): \( y' = \frac{441 - 22^2}{...} = \frac{441 - 484}{...} < 0 \) (функция убывает).

Точка максимума при \( x = 21 \).

Ответ:

1) \( x = -1 \)

2) \( x = 13 \)

3) \( x = -5 \)

4) \( x = 15 \)

5) \( x = -6 \)

6) \( x = 21 \)