ЗАДАНИЕ 14. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 9, AC = 12.

Обозначим центр окружности через O, а её радиус через r. Так как окружность проходит через C, то OC = r. Поскольку O лежит на отрезке AC, получаем AO = AC − OC = 12 − r.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: OB ⟂ AB. Поэтому треугольник AOB прямоугольный, и по теореме Пифагора:

\(AO^2 = AB^2 + OB^2\).

Подставим известные значения:

\((12-r)^2 = 9^2 + r^2\).

\(144 - 24r + r^2 = 81 + r^2\),

\(24r = 63\),

\(r = \frac{63}{24} = \frac{21}{8}\).

Диаметр окружности:

\(d = 2r = 2 \cdot \frac{21}{8} = \frac{21}{4} = 5.25\).

Ответ: 5,25