Ответ:

  1. Я отыщу секрет и ларчик вам открою.
  2. К вечеру разыгралась метель.
  3. В сухих перелесках легко отыщешь бархатистый подберёзовик.
  4. Я не терял надежды сыскать дорогу.
  5. Мороз сыграл с нами злую шутку.
  6. Мы решили отыскать брошенный предмет.
  7. В предыдущем номере журнала была интересная статья о дельфинах.
  8. Надо было подыскать надёжное место.
  9. Река продолжала играть и даже разыгралась совсем.

После русских приставок на согласную в корне вместо начального и пишется ы; после приставки с- сохраняется написание и в словах «сыграть», «сыскать». В слове «подберёзовик» приставка под- заканчивается согласной, но корень начинается с б, поэтому правило о и/ы не применяется.