Задание 14 Найдите точку максимума функции y = x² – 55x + 147 ln x + 3.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции y = x² – 55x + 147 ln x + 3.
   Производная от x² равна 2x.
   Производная от -55x равна -55.
   Производная от 147 ln x равна 147/x.
   Производная от 3 равна 0.
   Итак, y' = 2x - 55 + 147/x.
2. Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
   2x - 55 + 147/x = 0
   Умножим все члены на x (при условии, что x ≠ 0):
   2x² - 55x + 147 = 0
3. Шаг 3: Решим квадратное уравнение 2x² - 55x + 147 = 0.
   Используем дискриминант: D = b² - 4ac.
   D = (-55)² - 4 * 2 * 147 = 3025 - 1176 = 1849.
   Найдем корень из дискриминанта: √1849 = 43.
4. Шаг 4: Найдем корни уравнения:
   x₁ = (-b + √D) / 2a = (55 + 43) / (2 * 2) = 98 / 4 = 49 / 2 = 24.5
x₂ = (-b - √D) / 2a = (55 - 43) / (2 * 2) = 12 / 4 = 3.
5. Шаг 5: Определим, какой из корней является точкой максимума. Для этого найдем вторую производную:
   y'' = (2x - 55 + 147/x)' = 2 - 147/x².
   Проверим знак второй производной в точках x₁ = 24.5 и x₂ = 3:
   Для x₁ = 24.5: y''(24.5) = 2 - 147 / (24.5)² = 2 - 147 / 600.25 ≈ 2 - 0.245 > 0. Следовательно, это точка минимума.
   Для x₂ = 3: y''(3) = 2 - 147 / 3² = 2 - 147 / 9 = 2 - 16.333 < 0. Следовательно, это точка максимума.

Ответ: 3