Задание 15. Найдите точку минимума функции ... 1) y=-$\frac{x^2+196}{x}$; 2) y=-$\frac{x}{x^2+289}$; 3) y=-$\frac{x^2+16}{x}$; 4) y=-$\frac{x}{x^2+256}$; 5) y=-$\frac{x^2+361}{x}$; 6) y=-$\frac{x}{x^2+324}$

Question

Задание 15. Найдите точку минимума функции ... 1) y=-$\frac{x^2+196}{x}$; 2) y=-$\frac{x}{x^2+289}$; 3) y=-$\frac{x^2+16}{x}$; 4) y=-$\frac{x}{x^2+256}$; 5) y=-$\frac{x^2+361}{x}$; 6) y=-$\frac{x}{x^2+324}$

$Фото задания: Задание 15. Найдите точку минимума функции ... 1) y=-$\frac{x^2+196}{x}$; 2) y=-$\frac{x}{x^2+289}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение Задания 15

Для нахождения точки минимума функции, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак производной слева и справа от найденных точек.

1) $ y = -\frac{x^2+196}{x} = -x - \frac{196}{x} $

Найдем производную:

$ y' = -1 - (-\frac{196}{x^2}) = -1 + \frac{196}{x^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ -1 + \frac{196}{x^2} = 0 $

$ \frac{196}{x^2} = 1 $

$ x^2 = 196 $

$ x = \pm 14 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -14 $, например $ x = -15 $: $ y' = -1 + \frac{196}{(-15)^2} = -1 + \frac{196}{225} < 0 $ (функция убывает).
При $ -14 < x < 0 $, например $ x = -1 $: $ y' = -1 + \frac{196}{(-1)^2} = -1 + 196 = 195 > 0 $ (функция возрастает).
При $ 0 < x < 14 $, например $ x = 1 $: $ y' = -1 + \frac{196}{1^2} = -1 + 196 = 195 > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 14 $, например $ x = 15 $: $ y' = -1 + \frac{196}{15^2} = -1 + \frac{196}{225} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = 14 $.

2) $ y = -\frac{x}{x^2+289} $

Найдем производную:

$ y' = -\frac{(-1)(x^2+289) - (-x)(2x)}{(x^2+289)^2} = -\frac{-x^2-289 + 2x^2}{(x^2+289)^2} = -\frac{x^2-289}{(x^2+289)^2} = \frac{289-x^2}{(x^2+289)^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ 289-x^2 = 0 $

$ x^2 = 289 $

$ x = \pm 17 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -17 $, например $ x = -18 $: $ y' = \frac{289 - (-18)^2}{...} = \frac{289 - 324}{...} < 0 $ (функция убывает).
При $ -17 < x < 17 $, например $ x = 0 $: $ y' = \frac{289 - 0^2}{...} > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 17 $, например $ x = 18 $: $ y' = \frac{289 - 18^2}{...} = \frac{289 - 324}{...} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = -17 $.

3) $ y = -\frac{x^2+16}{x} = -x - \frac{16}{x} $

Найдем производную:

$ y' = -1 - (-\frac{16}{x^2}) = -1 + \frac{16}{x^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ -1 + \frac{16}{x^2} = 0 $

$ \frac{16}{x^2} = 1 $

$ x^2 = 16 $

$ x = \pm 4 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -4 $, например $ x = -5 $: $ y' = -1 + \frac{16}{(-5)^2} = -1 + \frac{16}{25} < 0 $ (функция убывает).
При $ -4 < x < 0 $, например $ x = -1 $: $ y' = -1 + \frac{16}{(-1)^2} = -1 + 16 = 15 > 0 $ (функция возрастает).
При $ 0 < x < 4 $, например $ x = 1 $: $ y' = -1 + \frac{16}{1^2} = -1 + 16 = 15 > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 4 $, например $ x = 5 $: $ y' = -1 + \frac{16}{5^2} = -1 + \frac{16}{25} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = 4 $.

4) $ y = -\frac{x}{x^2+256} $

Найдем производную:

$ y' = -\frac{(-1)(x^2+256) - (-x)(2x)}{(x^2+256)^2} = -\frac{-x^2-256 + 2x^2}{(x^2+256)^2} = -\frac{x^2-256}{(x^2+256)^2} = \frac{256-x^2}{(x^2+256)^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ 256-x^2 = 0 $

$ x^2 = 256 $

$ x = \pm 16 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -16 $, например $ x = -17 $: $ y' = \frac{256 - (-17)^2}{...} = \frac{256 - 289}{...} < 0 $ (функция убывает).
При $ -16 < x < 16 $, например $ x = 0 $: $ y' = \frac{256 - 0^2}{...} > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 16 $, например $ x = 17 $: $ y' = \frac{256 - 17^2}{...} = \frac{256 - 289}{...} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = -16 $.

5) $ y = -\frac{x^2+361}{x} = -x - \frac{361}{x} $

Найдем производную:

$ y' = -1 - (-\frac{361}{x^2}) = -1 + \frac{361}{x^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ -1 + \frac{361}{x^2} = 0 $

$ \frac{361}{x^2} = 1 $

$ x^2 = 361 $

$ x = \pm 19 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -19 $, например $ x = -20 $: $ y' = -1 + \frac{361}{(-20)^2} = -1 + \frac{361}{400} < 0 $ (функция убывает).
При $ -19 < x < 0 $, например $ x = -1 $: $ y' = -1 + \frac{361}{(-1)^2} = -1 + 361 = 360 > 0 $ (функция возрастает).
При $ 0 < x < 19 $, например $ x = 1 $: $ y' = -1 + \frac{361}{1^2} = -1 + 361 = 360 > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 19 $, например $ x = 20 $: $ y' = -1 + \frac{361}{20^2} = -1 + \frac{361}{400} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = 19 $.

6) $ y = -\frac{x}{x^2+324} $

Найдем производную:

$ y' = -\frac{(-1)(x^2+324) - (-x)(2x)}{(x^2+324)^2} = -\frac{-x^2-324 + 2x^2}{(x^2+324)^2} = -\frac{x^2-324}{(x^2+324)^2} = \frac{324-x^2}{(x^2+324)^2} $

Приравняем производную к нулю:

$ 324-x^2 = 0 $

$ x^2 = 324 $

$ x = \pm 18 $

Проверим знаки производной:

При $ x < -18 $, например $ x = -19 $: $ y' = \frac{324 - (-19)^2}{...} = \frac{324 - 361}{...} < 0 $ (функция убывает).
При $ -18 < x < 18 $, например $ x = 0 $: $ y' = \frac{324 - 0^2}{...} > 0 $ (функция возрастает).
При $ x > 18 $, например $ x = 19 $: $ y' = \frac{324 - 19^2}{...} = \frac{324 - 361}{...} < 0 $ (функция убывает).

Точка минимума при $ x = -18 $.

Ответ:

1) $ x = 14 $

2) $ x = -17 $

3) $ x = 4 $

4) $ x = -16 $

5) $ x = 19 $

6) $ x = -18 $

Задание 15. Найдите точку минимума функции ... 1) y=-\(\frac{x^2+196}{x}\); 2) y=-\(\frac{x}{x^2+289}\); 3) y=-\(\frac{x^2+16}{x}\); 4) y=-\(\frac{x}{x^2+256}\); 5) y=-\(\frac{x^2+361}{x}\); 6) y=-\(\frac{x}{x^2+324}\)

Ответ:

Решение Задания 15

1) \( y = -\frac{x^2+196}{x} = -x - \frac{196}{x} \)

2) \( y = -\frac{x}{x^2+289} \)

3) \( y = -\frac{x^2+16}{x} = -x - \frac{16}{x} \)

4) \( y = -\frac{x}{x^2+256} \)

5) \( y = -\frac{x^2+361}{x} = -x - \frac{361}{x} \)

6) \( y = -\frac{x}{x^2+324} \)

Ответ: