Задание 16. Найдите наибольшее значение функции ... 1) y= x²+9 / x на отрезке [-11; -1]; 2) y= x²+121 / x на отрезке [-20; -1]; 3) y= x²+25 / x на отрезке [-12; -1]; 4) y= x²+16 / x на отрезке [-10; -1];

Задание 16

Найдем наибольшее значение функции вида y = (x² + a²) / x, где a² - константа, на заданном отрезке.

Преобразуем функцию: y = x + a²/x.

Найдем производную: y' = 1 - a²/x².

Приравняем производную к нулю: 1 - a²/x² = 0 => x² = a² => x = ±a.

Рассмотрим каждый пункт:

1. 
   

   y = x + 9/x. Экстремумы при x = ±3.

   
   

   На отрезке [-11; -1], критическая точка x = -3.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(-11) = -11 + 9/(-11) = -11 - 9/11 = -130/11 ≈ -11.82
   
   
   • y(-1) = -1 + 9/(-1) = -1 - 9 = -10
   
   
   • y(-3) = -3 + 9/(-3) = -3 - 3 = -6
   
   
   
   

   Наибольшее значение: -6.

   
   


2. 
   

   y = x + 121/x. Экстремумы при x = ±11.

   
   

   На отрезке [-20; -1], критическая точка x = -11.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(-20) = -20 + 121/(-20) = -20 - 121/20 = -521/20 = -26.05
   
   
   • y(-1) = -1 + 121/(-1) = -1 - 121 = -122
   
   
   • y(-11) = -11 + 121/(-11) = -11 - 11 = -22
   
   
   
   

   Наибольшее значение: -22.

   
   


3. 
   

   y = x + 25/x. Экстремумы при x = ±5.

   
   

   На отрезке [-12; -1], критическая точка x = -5.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(-12) = -12 + 25/(-12) = -12 - 25/12 = -169/12 ≈ -14.08
   
   
   • y(-1) = -1 + 25/(-1) = -1 - 25 = -26
   
   
   • y(-5) = -5 + 25/(-5) = -5 - 5 = -10
   
   
   
   

   Наибольшее значение: -10.

   
   


4. 
   

   y = x + 16/x. Экстремумы при x = ±4.

   
   

   На отрезке [-10; -1], критическая точка x = -4.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(-10) = -10 + 16/(-10) = -10 - 1.6 = -11.6
   
   
   • y(-1) = -1 + 16/(-1) = -1 - 16 = -17
   
   
   • y(-4) = -4 + 16/(-4) = -4 - 4 = -8
   
   
   
   

   Наибольшее значение: -8.

   
   

Ответ: 1) -6; 2) -22; 3) -10; 4) -8.