Задание №16 ОГЭ. 2. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно 2√3. Найдите сторону треугольника.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Вписанный равносторонний треугольник.
• Расстояние от О до сторон = 2√3 (это радиус вписанной окружности, r).

Найти: Сторону равностороннего треугольника (a).

Решение:

Для равностороннего треугольника существуют известные формулы, связывающие его сторону, радиус вписанной окружности (r) и радиус описанной окружности (R).

1. Связь радиуса вписанной окружности и стороны:

• Формула: \[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]
• Подставляем известное значение r = 2√3:
• \[ 2\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]
• Умножаем обе части на 2√3, чтобы найти 'a':
• \[ a = 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} \]
• \[ a = 4 \times (\sqrt{3})^2 \]
• \[ a = 4 \times 3 \]
• \[ a = 12 \]

Альтернативный подход (через радиус описанной окружности):

1. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (O) совпадает с центром описанной окружности. Также O является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

2. Расстояние от центра О до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности (r = 2√3).

3. Радиус описанной окружности (R) в равностороннем треугольнике в два раза больше радиуса вписанной окружности: R = 2r.

4. Следовательно, R = 2 * (2√3) = 4√3.

5. Связь радиуса описанной окружности и стороны равностороннего треугольника:

• Формула: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
• Подставляем известное значение R = 4√3:
• \[ 4\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
• Умножаем обе части на √3, чтобы найти 'a':
• \[ a = 4\sqrt{3} \times \sqrt{3} \]
• \[ a = 4 \times 3 \]
• \[ a = 12 \]

Ответ: 12