Задание 16. Проверьте себя. А) Отметьте галочками верные утверждения: 1) Смежные углы могут быть равны. 2) Два смежных угла могут быть острыми. 3) Два вертикальных угла могут быть тупыми. 4) При пересечении двух прямых могут образоваться три тупых угла и один острый. 5) При пересечении двух прямых могут образоваться четыре острых угла. 6) При пересечении двух прямых могут образоваться четыре равных угла. 7) Угол между биссектрисами смежных углов может быть острым. 8) Угол, смежный с прямым углом, является прямым. Б) Найдите неизвестные величины: 1) A, B, C лежат на одной прямой; ∠EBD = 90°, ∠DBC = 34°. Найдите ∠EBA. 2) A, B, C лежат на одной прямой; ∠DBC = 52°, угол ABE на 12° меньше угла EBD. Найдите ∠CBE. 3) A, O, C лежат на одной прямой, B, O, F — на другой; отмечены прямые углы ∠EOD и ∠AOF, ∠BOD = 56°. Найдите ∠EOF. 4) A, O, B; E, O, F; C, O, D лежат соответственно на прямых; отмечено, что ∠AOE = ∠DOB = ∠COF. Найдите ∠COE. 5) A, O, B и C, O, D лежат на прямых; 7 · ∠DOB = 3 · ∠AOD. Найдите ∠COA. 6) E, O, C лежат на прямой, ∠EOB = 72°; OA — биссектриса угла BOD, OD — биссектриса угла AOC. Найдите ∠BOD.

А)

1. Верно: смежные углы могут быть равны, если каждый равен 90°.
2. Неверно: сумма смежных углов равна 180°, поэтому оба не могут быть острыми.
3. Верно: вертикальные углы равны и могут быть тупыми.
4. Неверно: при пересечении прямых вертикальные углы равны, поэтому три тупых угла и один острый образоваться не могут.
5. Неверно: если все четыре угла равны, каждый равен 90°, а не является острым.
6. Верно: при перпендикулярном пересечении прямых получаются четыре равных прямых угла.
7. Неверно: биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому угол между ними равен 90°.
8. Верно: смежный с углом 90° угол равен 180° − 90° = 90°.

Верные утверждения: 1, 3, 6, 8.

Б)

1. Углы на прямой составляют 180°:
   ∠EBA + ∠EBD + ∠DBC = 180°.
   ∠EBA = 180° − 90° − 34° = 56°.
2. Пусть ∠ABE = x°. Тогда ∠EBD = (x + 12)°. Так как ∠ABE + ∠EBD + ∠DBC = 180°, получаем:
   x + (x + 12) + 52 = 180;
   2x = 116;
   x = 58°.
   ∠CBE = 180° − ∠ABE = 180° − 58° = 122°.
3. ∠EOB = ∠EOD − ∠BOD = 90° − 56° = 34°. Поскольку ∠AOB = 90°, ∠EOA = 90° − 34° = 56°. Тогда ∠EOF = ∠EOA + ∠AOF = 56° + 90° = 146°.
4. Три отмеченных равных угла и их вертикальные углы образуют все шесть углов вокруг точки O. Они равны, а их сумма — 360°:
   360° : 6 = 60°.
   ∠COE состоит из двух таких углов: ∠COE = 60° + 60° = 120°.
5. Углы ∠DOB и ∠AOD смежные. Обозначим ∠DOB = x°. Тогда ∠AOD = 180° − x°. По условию:
   7x = 3(180 − x);
   10x = 540;
   x = 54°.
   ∠COA и ∠DOB — вертикальные углы, значит, ∠COA = 54°.
6. Пусть ∠BOD = x°. Так как OA — биссектриса ∠BOD, ∠BOA = ∠AOD = x/2. Так как OD — биссектриса ∠AOC, ∠DOC = ∠AOD = x/2. Из ∠EOB = 72° и прямой линии EOC следует ∠BOC = 180° − 72° = 108°. Следовательно:
   x/2 + x/2 + x/2 = 108°;
   3x/2 = 108°;
   x = 72°.

Ответ: 1) 56°; 2) 122°; 3) 146°; 4) 120°; 5) 54°; 6) 72°.