Задание 16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{5}{13}\). Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника, поэтому диагональ равна 26.

Обозначим угол между стороной и диагональю через \(\alpha\). По условию \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\). Тогда \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\), поскольку угол острый и \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Стороны прямоугольника равны \(26\sin\alpha=10\) и \(26\cos\alpha=24\). Следовательно, площадь равна \(10\cdot24=240\).

Ответ: 240.