Задание 17.2 Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналий ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной ромба. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на сторону, делит эту сторону на два отрезка. Нам дан угол между этим перпендикуляром и диагональю, равный 35°.

В прямоугольном треугольнике, образованном стороной ромба, перпендикуляром и отрезком диагонали, угол между перпендикуляром и диагональю равен 35°.

Пусть точка пересечения диагоналей — O. Сторона ромба — AB. Перпендикуляр из O на AB — OH. Диагональ — AC. Угол между OH и AC равен 35°.

Так как диагонали перпендикулярны, угол между AO и OH равен 90°. Угол AOH = 90°.

В треугольнике AOH: \( \angle OAH = 180° - 90° - 35° = 55° \).

Угол \( \angle OAH \) — это половина угла ромба A.

Следовательно, угол ромба A равен \( 2 \cdot 55° = 110° \).

Другой угол ромба B смежный с углом A, поэтому \( \angle B = 180° - 110° = 70° \).

Острый угол ромба равен 70°.

Ответ: 70°.