Задание 17.8. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 26° и 10°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Диагональ AC образует с боковыми сторонами углы \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle ACD = 10^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, и боковые стороны равны: \( AB = CD \).

В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).

Рассмотрим треугольник ABC. Угол при основании трапеции равен \( \angle ABC \).

В равнобедренной трапеции углы, образованные диагональю и боковой стороной, равны: \( \angle BAC = \angle BDC = 26^{\circ} \) и \( \angle CAD = \angle ACB \).

Из условия задачи известно, что угол между диагональю и боковой стороной равен \( 26^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ABC. Угол \( \angle ABC \) — это угол при большем основании трапеции (если провести высоту из B к основанию AD, то угол будет острым).

В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 26^{\circ} \). Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle ACB = \angle CAD \).

Угол \( \angle ACD = 10^{\circ} \) — это угол между диагональю AC и основанием CD.

Так как ABCD — трапеция, то основания AD и BC параллельны. Следовательно, накрест лежащие углы равны: \( \angle CAD = \angle ACB = 10^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + 26^{\circ} + 10^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + 36^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ} \)

Однако, это угол при меньшем основании, так как он тупой.

Угол при большем основании трапеции — это острый угол. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Рассмотрим треугольник ACD. У нас есть \( \angle ACD = 10^{\circ} \).

Из условия задачи, диагональ образует с боковой стороной угол \( 26^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \).

Пусть \( \angle CAD = 10^{\circ} \) и \( \angle ACD = 26^{\circ} \) — это было бы иначе. По условию, углы с боковыми сторонами. Значит, \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle BCA \) или \( \angle ACD = 10^{\circ} \) — здесь надо уточнить.

Если \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle ACD = 10^{\circ} \), то \( \angle CAD = \angle ACB \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \). Угол при большем основании — \( \angle ADC \).

В равнобедренной трапеции \( \angle ADC = \angle BCD \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \)

Мы знаем, что \( \angle BAC = 26^{\circ} \).

И \( \angle ACD = 10^{\circ} \).

Из параллельности BC и AD, \( \angle ACB = \angle CAD \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + 26^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = 154^{\circ} - \angle ACB \)

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \angle ACB + 10^{\circ} \)

В равнобедренной трапеции \( \angle ABC = \angle BCD \).

\( 154^{\circ} - \angle ACB = \angle ACB + 10^{\circ} \)

\( 144^{\circ} = 2 \angle ACB \)

\( \angle ACB = 72^{\circ} \)

Тогда \( \angle CAD = 72^{\circ} \).

Угол при большем основании \( \angle ADC \) = \( 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 10^{\circ}) = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

Давайте проверим. Углы при основании AD:

\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 72^{\circ} + 26^{\circ} = 98^{\circ} \).

\( \angle ADC = 98^{\circ} \).

Углы при основании BC:

\( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).

\( \angle BCD = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 72^{\circ} + 10^{\circ} = 82^{\circ} \).

Это соответствует условию равнобедренной трапеции.

Углы, образованные диагональю AC с боковыми сторонами:

\( \angle BAC = 26^{\circ} \) (дано)

\( \angle ACD = 10^{\circ} \) (дано)

Углы, образованные диагональю AC с основаниями:

\( \angle CAD = 72^{\circ} \) (найдено)

\( \angle ACB = 72^{\circ} \) (найдено)

Углы трапеции:

\( \angle DAB = 98^{\circ} \)

\( \angle ABC = 82^{\circ} \)

\( \angle BCD = 82^{\circ} \)

\( \angle ADC = 98^{\circ} \)

Углы при большем основании — \( 98^{\circ} \).

Важно: Угол между диагональю и боковой стороной может быть как \( 26^{\circ} \) и \( 10^{\circ} \), так и \( 10^{\circ} \) и \( 26^{\circ} \). В условии сказано «углы 26° и 10°», без указания, какой именно с какой стороной.

Пусть \( \angle BAC = 10^{\circ} \) и \( \angle ACD = 26^{\circ} \).

Тогда \( \angle CAD = \angle ACB \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + 10^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = 170^{\circ} - \angle ACB \)

\( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = \angle ACB + 26^{\circ} \)

Так как \( \angle ABC = \angle BCD \):

\( 170^{\circ} - \angle ACB = \angle ACB + 26^{\circ} \)

\( 144^{\circ} = 2 \angle ACB \)

\( \angle ACB = 72^{\circ} \)

\( \angle CAD = 72^{\circ} \).

Угол при большем основании \( \angle ADC \) = \( 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).

Проверим:

\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 72^{\circ} + 10^{\circ} = 82^{\circ} \).

\( \angle ADC = 82^{\circ} \).

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

\( \angle BCD = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 72^{\circ} + 26^{\circ} = 98^{\circ} \).

В этом случае углы при большем основании равны \( 82^{\circ} \).

В условиях задачи сказано «образует с боковыми сторонами углы 26° и 10°». Это означает, что одна боковая сторона образует с диагональю угол 26°, а другая — 10°.

Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и углы при основании равны. Также равны диагонали.

Пусть \( AC \) — диагональ.

\( AB \) и \( CD \) — боковые стороны.

\( AD \) и \( BC \) — основания.

Углы при основании \( AD \) равны, углы при основании \( BC \) равны.

Рассмотрим углы, образованные диагональю \( AC \).

Угол между \( AC \) и \( AB \) — \( \angle BAC \).

Угол между \( AC \) и \( CD \) — \( \angle ACD \).

Угол между \( AC \) и \( BC \) — \( \angle ACB \).

Угол между \( AC \) и \( AD \) — \( \angle CAD \).

В равнобедренной трапеции, углы, образованные диагональю с боковыми сторонами, равны. То есть, \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle CAD = \angle ACB \). Это НЕВЕРНО.

Правильно: \( \angle BAC = \angle BDC \) и \( \angle CAD = \angle ACB \).

В равнобедренной трапеции: \( \angle ABC = \angle BCD \) и \( \angle DAB = \angle ADC \).

Дано: \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle ACD = 10^{\circ} \).

Так как \( BC \parallel AD \), то \( \angle CAD = \angle ACB \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ} \) \( \implies \angle ABC + 26^{\circ} + \angle ACB = 180^{\circ} \).

В \( \triangle ACD \): \( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^{\circ} \) \( \implies \angle ADC + 10^{\circ} + \angle CAD = 180^{\circ} \).

\( \angle ABC = 154^{\circ} - \angle ACB \).

\( \angle ADC = 170^{\circ} - \angle CAD \).

Так как \( \angle ADC = \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB \), то \( \angle ADC = \angle CAD + 26^{\circ} \).

Подставим это в уравнение для \( \triangle ACD \):

\( (\angle CAD + 26^{\circ}) + 10^{\circ} + \angle CAD = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle CAD + 36^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle CAD = 144^{\circ} \)

\( \angle CAD = 72^{\circ} \).

Тогда \( \angle ADC = \angle CAD + 26^{\circ} = 72^{\circ} + 26^{\circ} = 98^{\circ} \).

Угол при большем основании \( AD \) равен \( 98^{\circ} \).

Проверим второй случай, когда \( \angle BAC = 10^{\circ} \) и \( \angle ACD = 26^{\circ} \).

\( \angle CAD = \angle ACB \).

\( \triangle ADC \): \( \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^{\circ} \) \( \implies \angle ADC + 26^{\circ} + \angle CAD = 180^{\circ} \).

\( \angle ADC = 154^{\circ} - \angle CAD \).

\( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = \angle CAD + 10^{\circ} \).

Так как \( \angle ADC = \angle DAB \):

\( 154^{\circ} - \angle CAD = \angle CAD + 10^{\circ} \)

\( 144^{\circ} = 2 \angle CAD \)

\( \angle CAD = 72^{\circ} \).

Тогда \( \angle ADC = \angle CAD + 10^{\circ} = 72^{\circ} + 10^{\circ} = 82^{\circ} \).

Углы при основании \( AD \) равны \( 82^{\circ} \).

Углы при основании \( BC \) равны \( 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).

В этом случае \( 82^{\circ} \) — угол при большем основании.

Изначально, в условии сказано «углы 26° и 10°». Нет указания, какой угол с какой стороной.

Если \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle CAD = 10^{\circ} \), то \( \angle DAB = 36^{\circ} \). Это тупой угол, значит \( AD \) — меньшее основание. Но по рисунку \( AD \) — большее.

Следовательно, \( \angle CAD = 26^{\circ} \) и \( \angle BAC = 10^{\circ} \). Это значит, что угол между диагональю и большей боковой стороной.

Углы при основании \( AD \) больше, чем углы при основании \( BC \), значит \( AD \) — большее основание. Углы при большем основании острые.

Таким образом, \( \angle DAB = \angle ADC \) — острые углы.

\( \angle ABC = \angle BCD \) — тупые углы.

В первом случае мы получили \( 98^{\circ} \) и \( 82^{\circ} \). Острое значение — \( 82^{\circ} \).

Во втором случае мы получили \( 82^{\circ} \) и \( 98^{\circ} \). Острое значение — \( 82^{\circ} \).

В обоих случаях, когда \( AD \) — большее основание, угол при основании равен \( 82^{\circ} \).

Ответ: 82