Задание 17.8. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 26° и 84°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение:

Обозначим трапецию ABCD, где AD – большее основание. Диагональ AC образует с боковыми сторонами AB и BC углы.

Пусть \( \angle BAC = 26^{\circ} \) и \( \angle BCA = 84^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( AB = BC \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC + 26^{\circ} + 84^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Углы при основании трапеции равны, поэтому \( \angle DAB = \angle ABC = 70^{\circ} \) или \( \angle ADC = \angle BCD \).

Так как AD - большее основание, то углы при нем будут меньше 90 градусов.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно \( \angle DAB = \angle ABC \) или \( \angle ADC = \angle BCD \).

Так как \( \angle BCA = 84^{\circ} \), то \( \angle BCD \) больше \( 90^{\circ} \) (т.к. \( \angle ACD \) положительный).

Углы при основании AD: \( \angle DAB = \angle ADC \).

Пусть \( \angle CAD = x \). Тогда \( \angle ACB = x \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 84^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle DAB = \angle ABC = 70^{\circ} \) или \( \angle ADC = \angle BCD \).

Углы при большем основании AD равны \( \angle DAB = \angle ADC \). Если \( \angle ABC = 70^{\circ} \), то \( \angle DAB = 70^{\circ} \). Но \( \angle BCA = 84^{\circ} \), значит \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \). Если \( \angle DAB = 70^{\circ} \), то \( \angle ADC = 70^{\circ} \).

В \( \triangle ABC \) \( \angle ABC = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 84^{\circ}) = 70^{\circ} \). В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Углы при меньшем основании равны \( \angle ABC = \angle BAD = 70^{\circ} \), а углы при большем основании равны \( \angle BCD = \angle ADC \).

\( \angle BCD = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( \angle ADC = 110^{\circ} \).

\( \angle BAC = 26^{\circ} \). \( \angle ACB = 84^{\circ} \). \( \angle CAD = \angle ACB = 84^{\circ} \) (как накрест лежащие при параллельных основаниях и секущей АС).

\( \angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 26^{\circ} + 84^{\circ} = 110^{\circ} \).

\( \angle ADC = \angle DAB = 110^{\circ} \).

Ответ: 110°.