Задание 17. Найдите наименьшее значение функции ... 1) y = x²+36 / x на отрезке [1; 17]; 2) y = x²+484 / x на отрезке [2; 33]; 3) y = x²+81 / x на отрезке [4; 20]; 4) y = x²+9 / x на отрезке [1; 11]; 5) y = x²+49 / x на отрезке [1; 19]; 6) y = x²+441 / x на отрезке [2; 32].

Задание 17

Найдем наименьшее значение функции вида y = (x² + a²) / x, где a² - константа, на заданном отрезке.

Преобразуем функцию: y = x + a²/x.

Найдем производную: y' = 1 - a²/x².

Приравняем производную к нулю: 1 - a²/x² = 0 => x² = a² => x = ±a.

Рассмотрим каждый пункт:

1. 
   

   y = x + 36/x. Экстремумы при x = ±6.

   
   

   На отрезке [1; 17], критическая точка x = 6.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(1) = 1 + 36/1 = 37
   
   
   • y(17) = 17 + 36/17 ≈ 17 + 2.12 = 19.12
   
   
   • y(6) = 6 + 36/6 = 6 + 6 = 12
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 12.

   
   


2. 
   

   y = x + 484/x. Экстремумы при x = ±22.

   
   

   На отрезке [2; 33], критическая точка x = 22.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(2) = 2 + 484/2 = 2 + 242 = 244
   
   
   • y(33) = 33 + 484/33 ≈ 33 + 14.67 = 47.67
   
   
   • y(22) = 22 + 484/22 = 22 + 22 = 44
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 44.

   
   


3. 
   

   y = x + 81/x. Экстремумы при x = ±9.

   
   

   На отрезке [4; 20], критическая точка x = 9.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(4) = 4 + 81/4 = 4 + 20.25 = 24.25
   
   
   • y(20) = 20 + 81/20 = 20 + 4.05 = 24.05
   
   
   • y(9) = 9 + 81/9 = 9 + 9 = 18
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 18.

   
   


4. 
   

   y = x + 9/x. Экстремумы при x = ±3.

   
   

   На отрезке [1; 11], критическая точка x = 3.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(1) = 1 + 9/1 = 10
   
   
   • y(11) = 11 + 9/11 ≈ 11 + 0.82 = 11.82
   
   
   • y(3) = 3 + 9/3 = 3 + 3 = 6
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 6.

   
   


5. 
   

   y = x + 49/x. Экстремумы при x = ±7.

   
   

   На отрезке [1; 19], критическая точка x = 7.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(1) = 1 + 49/1 = 50
   
   
   • y(19) = 19 + 49/19 ≈ 19 + 2.58 = 21.58
   
   
   • y(7) = 7 + 49/7 = 7 + 7 = 14
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 14.

   
   


6. 
   

   y = x + 441/x. Экстремумы при x = ±21.

   
   

   На отрезке [2; 32], критическая точка x = 21.

   
   

   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   
   
   
   
   • y(2) = 2 + 441/2 = 2 + 220.5 = 222.5
   
   
   • y(32) = 32 + 441/32 ≈ 32 + 13.78 = 45.78
   
   
   • y(21) = 21 + 441/21 = 21 + 21 = 42
   
   
   
   

   Наименьшее значение: 42.

   
   

Ответ: 1) 12; 2) 44; 3) 18; 4) 6; 5) 14; 6) 42.