Задание 18. Выполните действия: а) (2 + 3i) + (−4 + 7i); б) (5 − 4i) − (−6 + i); в) (8i − 5) · i; г) (2 + 3i)(−4 + 7i); д) (3 − 4i)²; е) 6 + 3i + i² − 2i³ + 4i⁴; ж) (1 + i)/i; з) i/(i − 1); и) (2 − i)/(3 + 4i).

Question

Вопрос:

Фото задания: Задание 18. Выполните действия: а) (2 + 3i) + (−4 + 7i); б) (5 − 4i) − (−6 + i); в) (8i − 5) · i; г) (2 + 3i)(−4 + 7i); д) (3…

Задание 18. Выполните действия: а) (2 + 3i) + (−4 + 7i); б) (5 − 4i) − (−6 + i); в) (8i − 5) · i; г) (2 + 3i)(−4 + 7i); д) (3 − 4i)²; е) 6 + 3i + i² − 2i³ + 4i⁴; ж) (1 + i)/i; з) i/(i − 1); и) (2 − i)/(3 + 4i).

Accepted Answer

Складываем действительные и мнимые части:
\((2+3i)+(-4+7i)=2-4+(3+7)i=-2+10i\).
Раскрываем скобки при вычитании:
\((5-4i)-(-6+i)=5-4i+6-i=11-5i\).
Учитываем, что \(i^2=-1\):
\((8i-5)i=8i^2-5i=-8-5i\).
Перемножаем скобки:
\((2+3i)(-4+7i)=-8+14i-12i+21i^2=-8+2i-21=-29+2i\).
Возводим двучлен в квадрат:
\((3-4i)^2=9-24i+16i^2=9-24i-16=-7-24i\).
Используем степени мнимой единицы: \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\):
\(6+3i+i^2-2i^3+4i^4=6+3i-1+2i+4=9+5i\).
Делим числитель на \(i\):
\(\dfrac{1+i}{i}=\dfrac{1}{i}+1=-i+1=1-i\).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое число \(-1-i\):
\(\dfrac{i}{i-1}=\dfrac{i(-1-i)}{(i-1)(-1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12i\).
Умножаем на сопряжённое знаменателю число \(3-4i\):
\(\dfrac{2-i}{3+4i}=\dfrac{(2-i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{6-8i-3i+4i^2}{25}=\dfrac{2-11i}{25}=\dfrac{2}{25}-\dfrac{11}{25}i\).

Ответ: а) \(-2+10i\); б) \(11-5i\); в) \(-8-5i\); г) \(-29+2i\); д) \(-7-24i\); е) \(9+5i\); ж) \(1-i\); з) \(\frac{1-i}{2}\); и) \(\frac{2-11i}{25}\).