Задание 19 (№10102). Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший кучу из 129 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Чтобы Петя не выиграл сразу, после его хода в куче должно быть меньше 129 камней и при добавлении одного камня, и при удвоении. В частности, нужно, чтобы \(2S<129\), то есть \(S\leq64\).

Чтобы Ваня мог выиграть своим первым ходом после любого хода Пети, оба возможных результата хода Пети должны быть не меньше 65: из такой кучи Ваня удвоением получит не менее 129 камней. Для результата \(S+1\) это требует \(S+1\geq65\), то есть \(S\geq64\).

Следовательно, минимальное и единственное подходящее значение — \(S=64\). Если Петя добавит камень, получится 65, и Ваня удвоит кучу; если Петя удвоит её, получится 128, и Ваня добавит один камень.

Ответ: 64.