Задание 19. Проверьте себя. Вставьте пропущенное слово/слова. 1) Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы ____. 2) Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны ____. 3) Диагонали ромба взаимно ____ и делят его углы ____. 4) Диагонали прямоугольника ____. 5) Квадрат — это ____, у которого все стороны равны. Определите, верно ли утверждение. 6) Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник. 7) Четырёхугольник является ромбом, если у него диагонали перпендикулярны. 8) Всякий прямоугольник является квадратом. 9) Всякий прямоугольник является параллелограммом. 10) Любой квадрат является прямоугольником. 11) Любой квадрат является ромбом. 12) Существует ромб, который не является параллелограммом. Выполните задание. 13) ABCD — ромб. Найдите углы α и β, используя данные рисунка. 14) ABCD — прямоугольник. Найдите периметр треугольника AOB, используя данные рисунка. 15) Найдите периметр FKHT, используя данные рисунка.

1–5. Заполните пропуски

1. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
2. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

6–12. Верно ли утверждение

6. Нет. Например, равнобедренная трапеция имеет равные диагонали, но не является прямоугольником.
7. Нет. Перпендикулярные диагонали сами по себе не гарантируют, что четырёхугольник — ромб.
8. Нет. Прямоугольник не обязательно имеет равные стороны.
9. Да. По определению прямоугольник является параллелограммом с прямыми углами.
10. Да. У квадрата все углы прямые, следовательно, он является прямоугольником.
11. Да. У квадрата все стороны равны, следовательно, он является ромбом.
12. Нет. Ромб по определению является параллелограммом с равными сторонами.

13. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. На рисунке угол между диагональю и стороной равен 32°. Поэтому угол между диагональю и другой перпендикулярной диагональю равен 90°, а угол ромба при C равен 2 · 32° = 64°. Противоположный ему угол A тоже равен 64°, значит соседние углы B и D равны 180° − 64° = 116°. Диагональ BD делит угол D пополам: β = 116° : 2 = 58°. На схеме α — угол между диагоналями, поэтому α = 90°.

14. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = BO = AC/2. Угол между BC и AC равен 30°, а угол B прямой. В прямоугольном треугольнике ABC сторона AB = 12 лежит напротив угла 30°, поэтому гипотенуза AC = 24. Следовательно, AO = BO = 12. Периметр треугольника AOB: 12 + 12 + 12 = 36.

15. Засечки показывают, что K — середина BC, T — середина AD, а F и H — середины боковых сторон. Прямой угол при C и равенство частей сторон дают равные горизонтальные и вертикальные полуотрезки; угол при H равен 30°. В прямоугольном треугольнике KCH сторона KC = 8 лежит напротив угла 30°, значит KH = 16. Четырёхугольник FKHT — ромб, поэтому все его стороны равны KH. Тогда периметр равен 4 · 16 = 64.

Ответ: 1) прямые; 2) равны; 3) перпендикулярны, пополам; 4) равны; 5) прямоугольник; 6) нет; 7) нет; 8) нет; 9) да; 10) да; 11) да; 12) нет; 13) α = 90°, β = 58°; 14) 36; 15) 64.