Задание 19. Точка F делит отрезок MN, где M(−2; 4), N(8; −6), в отношении MF : FN = 3 : 2. Найдите координаты точки F.

Пусть MF : FN = 3 : 2. Тогда точка F находится на отрезке MN на расстоянии, составляющем 3/5 его длины от M.

Координаты точки деления внутреннего отрезка:

\(x_F=\frac{2x_M+3x_N}{3+2}=\frac{2\cdot(-2)+3\cdot8}{5}=4\),

\(y_F=\frac{2y_M+3y_N}{3+2}=\frac{2\cdot4+3\cdot(-6)}{5}=-2\).

Проверка: \(\overrightarrow{MN}=(10;-10)\), а \(\overrightarrow{MF}=\frac35\overrightarrow{MN}=(6;-6)\). Значит, F(4; −2) действительно делит MN в отношении 3 : 2.

Ответ: F(4; −2).