ЗАДАНИЕ №1 Игральный кубик подбрасывается n раз. Рассматривается случайная величина X – частота выпадения двоек. Найдите наименьшее значение n, при котором дисперсия X не превосходит 0,04.

Решение:

Случайная величина \( X \) — частота выпадения двоек при \( n \) бросках игрального кубика. Это означает, что \( X \) принимает значения \( \frac{k}{n} \), где \( k \) — число выпадений двойки.

Такая величина является статистикой биномиального распределения. Если \( p \) — вероятность выпадения двойки при одном броске, то математическое ожидание \( E(X) = p \) и дисперсия \( D(X) = \frac{p(1-p)}{n} \).

Для игрального кубика вероятность выпадения двойки равна \( p = \frac{1}{6} \).

Нам нужно найти наименьшее \( n \), при котором \( D(X) \le 0,04 \).

Подставим значение \( p \) в формулу дисперсии:

\[ D(X) = \frac{\frac{1}{6}(1 - \frac{1}{6})}{n} = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}{n} = \frac{\frac{5}{36}}{n} = \frac{5}{36n} \]

Теперь решим неравенство:

\[ \frac{5}{36n} \le 0,04 \]

Переведём 0,04 в дробь:

\( 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} \)

Неравенство принимает вид:

\[ \frac{5}{36n} \le \frac{1}{25} \]

Чтобы решить это неравенство, умножим обе части на \( 25 \cdot 36n \) (так как \( n \) — число бросков, \( n > 0 \), поэтому знак неравенства не меняется):

\[ 5 \cdot 25 \le 1 \cdot 36n \]
\[ 125 \le 36n \]

Теперь найдём \( n \):

\[ n \ge \frac{125}{36} \]

Вычислим значение дроби:

\[ \frac{125}{36} \approx 3,47 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом (количество бросков), и \( n \) должно быть больше или равно 3,47, то наименьшее целое значение \( n \) равно 4.

Ответ: 4