Задание 2 (16 баллов). К окружности с центром в точке О провели две касательные КМ и KL из точки К так, что М и L — точки касания. Определите градусную меру большей дуги ML, если известно, что длина отрезка КМ равна радиусу данной окружности.

Решение:

Эта задача относится к геометрии, а именно к свойствам касательных к окружности.

1. Анализ условия:
• У нас есть окружность с центром в точке O.
• Из точки K проведены две касательные KM и KL к окружности.
• M и L — точки касания.
• Длина отрезка KM равна радиусу окружности (R).
• Нам нужно найти градусную меру большей дуги ML.
2. Свойства касательных:
• Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OMK = 90° и ∠OLK = 90°.
• Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. В данном случае KM = KL.
• Точка K находится на одинаковом расстоянии от M и L.
3. Рассмотрим треугольник ΔOMK:
• OM — радиус окружности (R).
• KM — данный отрезок, равный радиусу (KM = R).
• ∠OMK = 90°.
• Таким образом, ΔOMK — прямоугольный треугольник, в котором катет OM равен катету KM. Это означает, что ΔOMK — равнобедренный прямоугольный треугольник.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, ∠MKO = ∠OMK = 45°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠MOK = 180° - 90° - 45° = 45°.
4. Угол ∠MOL:
• Аналогично, рассмотрим треугольник ΔOLK. Он также будет равнобедренным прямоугольным, и ∠LOK = 45°.
• Угол ∠MOL является центральным углом, опирающимся на меньшую дугу ML.
• ∠MOL = ∠MOK + ∠LOK = 45° + 45° = 90°.
5. Вычисление дуг:
• Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Градусная мера меньшей дуги ML равна 90°.
• Полный круг составляет 360°.
• Градусная мера большей дуги ML равна: 360° - 90° = 270°.

Ответ: 270°