Задание 2.2 (Система линейных неравенств – выбор тарифов) Логистическая компания может использовать два вида транспорта: Транспорт А: стоимость 5000 руб. за рейс, грузоподъёмность 2 т. Транспорт Б: стоимость 9000 руб. за рейс, грузоподъёмность 5 т. Нужно перевезти не менее 30 т груза. Количество рейсов должно быть целым неотрицательным числом. Бюджет на перевозку – не более 70 000 руб. 1. Обозначьте х – число рейсов А, у – число рейсов Б. Составьте систему неравенств по грузу и по бюджету. 2. Нарисуйте на координатной плоскости область допустимых решений (можно схематично). 3. Найдите хотя бы одно допустимое целое решение. Предложите вариант с наименьшей стоимостью (подберите).

Решение:

1. Составим систему неравенств:

Пусть x – число рейсов транспорта А, а y – число рейсов транспорта Б.

По грузу:

Транспорт А перевозит \( 2 \) т за рейс, транспорт Б – \( 5 \) т. Всего нужно перевезти не менее \( 30 \) т.

\( 2x + 5y \geq 30 \)

По бюджету:

Стоимость рейса транспорта А – \( 5000 \) руб., транспорта Б – \( 9000 \) руб. Бюджет – не более \( 70000 \) руб.

\( 5000x + 9000y \leq 70000 \)

Упростим второе неравенство, разделив на 1000:

\( 5x + 9y \leq 70 \)

Кроме того, количество рейсов должно быть целым неотрицательным числом:

\( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \), \( x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{Z} \)

Система неравенств:

\( \begin{cases} 2x + 5y \geq 30 \\ 5x + 9y \leq 70 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x, y \in \mathbb{Z} \end{cases} \)

2. Область допустимых решений:

Построим прямые \( 2x + 5y = 30 \) и \( 5x + 9y = 70 \) на координатной плоскости.

Для \( 2x + 5y = 30 \):

• Если \( x = 0 \), то \( 5y = 30 \) \( \Rightarrow y = 6 \). Точка (0, 6).
• Если \( y = 0 \), то \( 2x = 30 \) \( \Rightarrow x = 15 \). Точка (15, 0).

Для \( 5x + 9y = 70 \):

• Если \( x = 0 \), то \( 9y = 70 \) \( \Rightarrow y \approx 7,78 \). Точка (0, 7.78).
• Если \( y = 0 \), то \( 5x = 70 \) \( \Rightarrow x = 14 \). Точка (14, 0).

Область допустимых решений – это часть первого квадранта (где \( x \geq 0, y \geq 0 \)), расположенная между прямыми \( 2x + 5y = 30 \) и \( 5x + 9y = 70 \).

(Схематичное изображение области на координатной плоскости: замкнутая область, ограниченная снизу прямой \( 2x + 5y = 30 \) и слева осью Оу (до точки (0,6)), сверху прямой \( 5x + 9y = 70 \) и слева осью Ох (до точки (14,0)), включая отрезки этих прямых и замыкающие их отрезки на осях.)

3. Найдем допустимое целое решение с наименьшей стоимостью:

Стоимость одного рейса А = 5000 руб., рейса Б = 9000 руб. Целевая функция: \( C = 5000x + 9000y \).

Перечислим целочисленные точки в области допустимых решений и посчитаем стоимость:

• Попытка 1: Максимум рейсов А (для снижения стоимости, т.к. А дешевле).
• Если \( y = 0 \), то \( 2x \geq 30 \) \( \Rightarrow x \geq 15 \) и \( 5x \leq 70 \) \( \Rightarrow x \leq 14 \). Нет целочисленных решений при \( y = 0 \).
• Если \( y = 1 \), то \( 2x + 5 \geq 30 \) \( \Rightarrow 2x \geq 25 \) \( \Rightarrow x \geq 12,5 \) (т.е. \( x \geq 13 \)) и \( 5x + 9 \leq 70 \) \( \Rightarrow 5x \leq 61 \) \( \Rightarrow x \leq 12,2 \). Нет целочисленных решений при \( y = 1 \).
• Если \( y = 2 \), то \( 2x + 10 \geq 30 \) \( \Rightarrow 2x \geq 20 \) \( \Rightarrow x \geq 10 \) и \( 5x + 18 \leq 70 \) \( \Rightarrow 5x \leq 52 \) \( \Rightarrow x \leq 10,4 \) (т.е. \( x \leq 10 \)).
• Находим точку \( x = 10, y = 2 \). Проверяем: \( 2(10) + 5(2) = 20 + 10 = 30 \geq 30 \) (груз выполнен). \( 5(10) + 9(2) = 50 + 18 = 68 \leq 70 \) (бюджет в пределах нормы).
• Стоимость: \( C = 5000(10) + 9000(2) = 50000 + 18000 = 68000 \) руб.

Попытка 2: Максимум рейсов Б (для проверки, хотя он дороже).

• Если \( x = 0 \), то \( 5y \geq 30 \) \( \Rightarrow y \geq 6 \) и \( 9y \leq 70 \) \( \Rightarrow y \leq 7,78 \) (т.е. \( y \leq 7 \)).
• Возможные точки: \( (0, 6), (0, 7) \).
• Стоимость для \( (0, 6) \): \( C = 5000(0) + 9000(6) = 54000 \) руб.
• Стоимость для \( (0, 7) \): \( C = 5000(0) + 9000(7) = 63000 \) руб.

Сравнивая найденные варианты:

• \( (10, 2) \) – стоимость \( 68000 \) руб.
• \( (0, 6) \) – стоимость \( 54000 \) руб.
• \( (0, 7) \) – стоимость \( 63000 \) руб.

Вариант с наименьшей стоимостью – \( x=0, y=6 \).

Ответ: 1. \( \begin{cases} 2x + 5y \geq 30 \\ 5x + 9y \leq 70 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x, y \in \mathbb{Z} \end{cases} \); 2. Область между прямыми \( 2x + 5y = 30 \) и \( 5x + 9y = 70 \) в первом квадранте; 3. Наименьшая стоимость достигается при \( x=0 \) рейсов транспорта А и \( y=6 \) рейсов транспорта Б. Стоимость составит \( 54000 \) руб.