Задание 2 (20 баллов). В слове «ТОПОЛЬ» буквы закодированы следующим образом: T 000 O ? П 01 Л 10 b ? Как можно закодировать буквы «О» и «Б» так, чтобы общая длина закодированного слова была наименьшей из всех возможных кодовых последовательностей? Обоснуйте ответ. Задание выполните письменно.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы минимизировать общую длину закодированного слова "ТОПОЛЬ". У нас есть следующие кодовые последовательности:

• Т — 000 (длина 3)
• П — 01 (длина 2)
• Л — 10 (длина 2)

Буквы О и Б закодированы как ?, и нам нужно выбрать для них такие коды, чтобы суммарная длина была минимальной.

Слово "ТОПОЛЬ" состоит из букв: Т, О, П, О, Л, Ь.

Текущая длина кодирования:

• Т: 3
• О: ?
• П: 2
• О: ?
• Л: 2
• Ь: ?

Суммарная длина = 3 + (длина кода О) + 2 + (длина кода О) + 2 + (длина кода Ь).

Чтобы минимизировать общую длину, коды для О и Ь должны быть как можно короче.

Поскольку коды П (01) и Л (10) имеют длину 2, а код Т (000) имеет длину 3, мы можем предположить, что используется какое-то префиксное кодирование, где более часто встречающиеся буквы имеют более короткие коды.

Однако, в данном случае, если мы хотим минимизировать общую длину, то для букв, у которых код еще не определен (О и Ь), мы должны выбрать самые короткие возможные коды, которые не конфликтуют с уже существующими.

Возможные коды длиной 1: '0' и '1'.

Если мы присвоим О код '0' (длина 1) и Ь код '1' (длина 1), то:

• Т: 000 (3)
• О: 0 (1)
• П: 01 (2)
• О: 0 (1)
• Л: 10 (2)
• Ь: 1 (1)

Общая длина = 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10.

Если мы присвоим О код '1' (длина 1) и Ь код '0' (длина 1), то:

• Т: 000 (3)
• О: 1 (1)
• П: 01 (2)
• О: 1 (1)
• Л: 10 (2)
• Ь: 0 (1)

Общая длина = 3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10.

В любом случае, присвоение кодов длиной 1 для О и Ь дает минимальную общую длину.

Обоснование:

Для минимизации общей длины закодированного слова необходимо присвоить буквы О и Ь самые короткие доступные коды. Так как коды '0' и '1' имеют наименьшую возможную длину (1), присвоение одного из них букве О и другого букве Ь приведет к наименьшей общей длине кодового слова.

Пример:

• О: 0 (длина 1)
• Ь: 1 (длина 1)

Тогда слово "ТОПОЛЬ" будет закодировано как "00000100101", что имеет длину 10.

Важно: Коды должны быть префиксными, то есть ни один код не должен быть началом другого кода. В данном случае, '0' не является началом '000' или '10', и '1' не является началом '000' или '01'.

Ответ: Букве "О" можно присвоить код "0", а букве "Б" — код "1" (или наоборот). Это позволит получить наименьшую общую длину кодированного слова, равную 10 битам.