Задание 2 (28 баллов). Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и вернулась обратно. Весь путь длился 5 часов. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Давай разберем эту задачку по шагам!

Что нам известно?

• Расстояние в одну сторону (по течению и против): 48 км.
• Общее время в пути: 5 часов.
• Скорость течения реки: 4 км/ч.

Что нужно найти?

• Скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Как будем решать?

Пусть:

• x — это скорость моторной лодки в неподвижной воде (то, что мы ищем).
• (x + 4) — это скорость лодки по течению (скорость лодки + скорость течения).
• (x - 4) — это скорость лодки против течения (скорость лодки - скорость течения).

Мы знаем, что время = расстояние / скорость. Так что:

• Время в пути по течению:

\[ t_1 = \frac{48}{x + 4} \)

• Время в пути против течения:

\[ t_2 = \frac{48}{x - 4} \)

Общее время в пути — это сумма времени по течению и против течения, и оно равно 5 часам:

\[ t_1 + t_2 = 5 \)

Подставим наши выражения для времени:

\[ \frac{48}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 5 \)

Теперь нам нужно решить это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю (x + 4)(x - 4) = x² - 16:

\[ \frac{48(x - 4) + 48(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 5 \)

\[ \frac{48x - 192 + 48x + 192}{x^2 - 16} = 5 \)

\[ \frac{96x}{x^2 - 16} = 5 \)

Умножим обе стороны на (x² - 16):

\[ 96x = 5(x^2 - 16) \)

\[ 96x = 5x^2 - 80 \)

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 96x - 80 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта (D = b² - 4ac):

• a = 5, b = -96, c = -80

\[ D = (-96)^2 - 4 imes 5 imes (-80) \)

\[ D = 9216 + 1600 \)

\[ D = 10816 \)

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{10816} = 104 \)

Теперь найдем значения x:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 + 104}{2 imes 5} = \frac{200}{10} = 20 \)

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{96 - 104}{2 imes 5} = \frac{-8}{10} = -0.8 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому мы берем положительное значение.

Ответ: Скорость моторной лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч.