Задание 2.3 (Квадратное уравнение – оптимизация затрат) Затраты на хранение товара на складе (в тыс. руб.) описываются формулой: Z(x) = x² – 10x + 50, где х – объём партии в сотнях единиц (х ≥ 0). 1. При каком объёме партии затраты будут минимальными? (Найдите вершину параболы.) 2. Чему равны минимальные затраты? 3. Решите уравнение Z(x) = 50. При каких объёмах затраты составят 50 тыс. руб.? Объясните, почему получилось два значения. Решение задач на уравнения и неравенства (15 минут) Задачи решаются индивидуально или в парах. Ответы записываются в тетрадь. Задача 1 (линейное уравнение). За доставку товара компания заплатила 8000 руб. Стоимость доставки складывается из фиксированной суммы 2000 руб. и платы за каждый километр пути – 30 руб./км. Какое расстояние проехал грузовик? Задача 2 (система неравенств). Для перевозки мебели нужны машины грузоподъёмностью 2 т и 3 т. Общий вес груза – 18 т. Машин каждого типа должно быть не менее 2. Общее количество машин – не более 8. Составьте систему неравенств для числа машин каждого типа. Укажите одно допустимое решение (целые числа). Задача 3 (для сильных студентов – квадратное уравнение). Средние расходы на один километр пробега (в руб.) при движении со скоростью v км/ч (v > 0) описываются формулой: R(v) = 0,01v² – 2v + 150. При какой скорости расходы будут минимальными? Чему равны эти минимальные расходы?

Задание 2.3 (Квадратное уравнение – оптимизация затрат)

Формула затрат: Z(x) = x² – 10x + 50, где x – объём партии в сотнях единиц (x ≥ 0).

1. Объём партии при минимальных затратах:

   
   

   Это вершина параболы. Координата x вершины параболы находится по формуле: x = -b / (2a).

   
   

   В данном случае a = 1, b = -10.

   
   

   x = -(-10) / (2 * 1) = 10 / 2 = 5.

   
   

   Ответ: 5 сотен единиц.

   
   



2. Минимальные затраты:

   
   

   Подставим x = 5 в формулу затрат:

   
   

   Z(5) = 5² – 10 * 5 + 50 = 25 – 50 + 50 = 25.

   
   

   Ответ: 25 тыс. руб.

   
   



3. Решение уравнения Z(x) = 50:

   
   

   x² – 10x + 50 = 50

   
   

   x² – 10x = 0

   
   

   x(x – 10) = 0

   
   

   Это уравнение имеет два решения:

   
   

   x₁ = 0

   
   

   x₂ = 10

   
   

   Ответ: 0 сотен единиц и 10 сотен единиц.

   
   

   Объяснение: Получилось два значения, потому что парабола симметрична относительно своей вершины. Значение 50 тыс. руб. достигается как при объёме партии 0 сотен единиц, так и при объёме 10 сотен единиц. Оба этих значения находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы (x=5).

   
   

Задача 1 (линейное уравнение)

Дано:
Общая стоимость доставки: 8000 руб.
Фиксированная сумма: 2000 руб.
Плата за километр: 30 руб./км.
Найти:
Расстояние (км).

Решение:

Стоимость, зависящая от расстояния = Общая стоимость – Фиксированная сумма

8000 руб. – 2000 руб. = 6000 руб.

Расстояние = Стоимость, зависящая от расстояния / Плата за километр

6000 руб. / 30 руб./км = 200 км

Ответ: Грузовик проехал 200 км.

Задача 2 (система неравенств)

Пусть x – количество машин грузоподъёмностью 2 т, а y – количество машин грузоподъёмностью 3 т.

Система неравенств:

1. Общий вес груза: 2x + 3y ≥ 18


2. Минимальное количество машин каждого типа: x ≥ 2, y ≥ 2


3. Общее количество машин: x + y ≤ 8

Одно допустимое решение (целые числа):

Проверим вариант x = 3, y = 4:

• 2*3 + 3*4 = 6 + 12 = 18. (18 ≥ 18 - верно)


• 3 ≥ 2 (верно), 4 ≥ 2 (верно)


• 3 + 4 = 7. (7 ≤ 8 - верно)

Ответ: Одно допустимое решение: 3 машины по 2 т и 4 машины по 3 т.

Задача 3 (для сильных студентов – квадратное уравнение)

Формула расходов: R(v) = 0,01v² – 2v + 150, где v – скорость (v > 0).

1. Скорость при минимальных расходах:

   
   

   Это вершина параболы. Координата v вершины параболы находится по формуле: v = -b / (2a).

   
   

   В данном случае a = 0,01, b = -2.

   
   

   v = -(-2) / (2 * 0,01) = 2 / 0,02 = 100.

   
   

   Ответ: 100 км/ч.

   
   



2. Минимальные расходы:

   
   

   Подставим v = 100 в формулу расходов:

   
   

   R(100) = 0,01 * (100)² – 2 * 100 + 150

   
   

   R(100) = 0,01 * 10000 – 200 + 150

   
   

   R(100) = 100 – 200 + 150 = 50.

   
   

   Ответ: 50 руб.