Задание 2 (30 баллов). 1. Решите уравнение \(\cos2x+3\sin x=1\). 2. Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку \([0;2\pi]\).

1. Используем формулу \(\cos2x=1-2\sin^2x\):

\(1-2\sin^2x+3\sin x=1\).

Переносим и раскладываем на множители: \(-2\sin^2x+3\sin x=0\), то есть \(\sin x(3-2\sin x)=0\).

Получаем \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac{3}{2}\). Второе уравнение не имеет действительных решений, поскольку значение синуса не может быть больше 1. Поэтому \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Ответ к пункту 1: \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

2. Из общего решения \(x=\pi k\) выбираем значения на отрезке \([0;2\pi]\): при \(k=0,1,2\) получаем \(x=0,\pi,2\pi\).

Ответ к пункту 2: \(0,\pi,2\pi\).