Задание №2. а) Решите уравнение: \(2\sin^2x+\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi;-\frac{\pi}{2}]\).

Раскроем синус суммы: \(\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(2\sin^2x+\sin x+\cos x=\cos x\).

Сокращаем \(\cos x\) и раскладываем на множители:

\(2\sin^2x+\sin x=0\),

\(\sin x(2\sin x+1)=0\).

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac{1}{2}\). Все решения:

\(x=k\pi\); \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

На отрезке \([-2\pi;-\frac{\pi}{2}]\) получаем \(-2\pi\), \(-\frac{11\pi}{6}\), \(-\frac{5\pi}{6}\) и \(-\pi\).

Ответ: а) \(x=k\pi\), \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\); б) \(-2\pi,-\frac{11\pi}{6},-\frac{5\pi}{6},-\pi\).