Задание №2. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 30, а основание BC равно 6. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Обозначим высоту трапеции через h, а длину основания AD через d. Пусть M — середина AB.

Так как M лежит на биссектрисе угла ADC, расстояния от M до прямых AD и CD равны. Расстояние от M до AD равно h/2. Площадь параллелограмма, построенного на векторах DC и DM, позволяет найти расстояние от M до CD: оно равно h(d + 6)/60, поскольку CD = 30 и BC = 6. Поэтому h/2 = h(d + 6)/60, откуда d = 24.

Расположим A и D на горизонтальной прямой: A = (0, 0), D = (24, 0), B = (x, h), C = (x + 6, h). Из длин боковых сторон:

AB²: x² + h² = 24²;

CD²: (x − 18)² + h² = 30².

Вычитая первое равенство из второго, получаем (x − 18)² − x² = 900 − 576 = 324, откуда x = 0. Тогда h = 24.

Площадь трапеции равна (AD + BC)h/2 = (24 + 6) · 24/2 = 360.

Ответ: 360.