Задание 2. Дан куб KLMNPRST. а) Установите взаимное расположение прямых NP и MT (18 баллов). б) Найдите угол между прямыми MS и LP (18 баллов).

Примем стандартное обозначение куба: вершины KLMN и PRST лежат в параллельных гранях, соответствующие рёбра — KP, LR, MS и NT.

а) Прямые NP и MT не параллельны: это диагонали параллельных граней, направленные по-разному. Они также не пересекаются, поскольку лежат в разных плоскостях. Следовательно, прямые NP и MT скрещиваются.

б) Введём координаты: K(0; 0; 0), L(1; 0; 0), M(1; 1; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 1), S(1; 1; 1). Тогда направляющие векторы прямых MS и LP можно взять такими: \(\overrightarrow{MS}=(0; 0; 1)\), \(\overrightarrow{LP}=(-1; 0; 1)\).

Косинус угла между прямыми равен отношению модуля скалярного произведения направляющих векторов к произведению их длин:

\(\cos\varphi=\frac{|0\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot1|}{1\cdot\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), поэтому \(\varphi=45^\circ\).

Ответ: а) прямые NP и MT скрещиваются; б) угол между прямыми MS и LP равен 45°.