Задание 2. Дано: \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}; \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Найти: а) \(\sin \alpha\) ; \(\cos \alpha\) ; \( g \alpha\) ; \(\mathrm{ctg} \alpha\)

Решение:

Дано: \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\) и \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). Это означает, что угол \(\alpha\) находится в IV четверти, где \(\cos \alpha > 0\) и \(\sin \alpha < 0\). Однако, в условии дано \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\), что противоречит нахождению угла в IV четверти. Предположим, что угол \(\alpha\) находится во II четверти, где \(\cos \alpha < 0\) и \(\sin \alpha > 0\).

Если \(\alpha\) во II четверти ( \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) ):

1. Найдём \(\sin \alpha\) по основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
   • \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \)
   • \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \)
   • Так как \(\alpha\) во II четверти, \(\sin \alpha > 0\), значит, \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\).
2. Найдём \( g \alpha\):
   • \( g \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} \)
3. Найдём \(\mathrm{ctg} \alpha\):
   • \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{ g \alpha} = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = -\frac{5}{12} \)

Если условие \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) верно, а \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\) — опечатка и должно быть \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\):

1. Найдём \(\sin \alpha\):
   • \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
   • \( \sin \alpha = \pm \frac{12}{13} \)
   • Так как \(\alpha\) в IV четверти, \(\sin \alpha < 0\), значит, \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\).
2. Найдём \( g \alpha\):
   • \( g \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} \)
3. Найдём \(\mathrm{ctg} \alpha\):
   • \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{ g \alpha} = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = -\frac{5}{12} \)

Ответ: При условии \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (II четверть) и \(\cos \alpha = -\frac{5}{13}\): \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), \( g \alpha = -\frac{12}{5}\), \(\mathrm{ctg} \alpha = -\frac{5}{12}\).

При условии \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (IV четверть) и \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\) (предполагаемая опечатка): \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\), \( g \alpha = -\frac{12}{5}\), \(\mathrm{ctg} \alpha = -\frac{5}{12}\).