Задание № 2. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠ADB : ∠CDB = 4 : 5. Найдите углы треугольника AOB: ∠AOB, ∠OAB, ∠OBA.

В прямоугольнике угол при вершине D равен 90°, поэтому ∠ADB + ∠CDB = 90°.

Пусть ∠ADB = 4x, а ∠CDB = 5x. Тогда 9x = 90°, откуда x = 10°. Значит, ∠ADB = 40°, ∠CDB = 50°.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный, а его углы при основании равны.

Так как O лежит на диагонали BD, ∠OBA = ∠DBA. В треугольнике ADB: ∠DBA = 180° − 90° − 40° = 50°. Значит, ∠OBA = ∠OAB = 50°.

Тогда ∠AOB = 180° − 50° − 50° = 80°.

Ответ: ∠AOB = 80°, ∠OAB = 50°, ∠OBA = 50°.