ЗАДАНИЕ 2. Докажите, что если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, AO = BO.
2. Треугольник AOB прямоугольный, поскольку AC ⟂ BD, и равнобедренный, поскольку AO = BO. Поэтому его острые углы равны по 45°.
3. Тогда ∠DAB = ∠OAB + ∠OAD = 45° + 45° = 90°, где ∠OAD = ∠ABO = 45° (AB ∥ CD).
4. В прямоугольном треугольнике AOB равные катеты дают AB = AO√2. Поскольку диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, AC = 2AO. Также из равенства треугольников AOB и BOC следует AB = BC; следовательно, соседние стороны прямоугольника равны.

Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.