Задание 2. Докажите, что ромб является квадратом, если его сторона образует с диагоналями равные углы.

Пусть сторона ромба образует равные углы с обеими диагоналями, проведёнными из её вершины. Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, а диагонали ромба перпендикулярны.

Обозначим каждый из равных углов через \(x\). Поскольку диагонали перпендикулярны, углы между стороной и двумя диагоналями в сумме составляют \(90^\circ\). Поэтому \(x+x=90^\circ\), откуда \(x=45^\circ\).

Диагональ делит угол ромба пополам, значит угол ромба равен \(2\cdot45^\circ=90^\circ\). Ромб с прямым углом является прямоугольником; поскольку все его стороны равны, он является квадратом.

Что и требовалось доказать.