Задание 2. Докажите, что точка С является серединой отрезка АВ, если ОС ⊥ АВ, где О — центр окружности.

Задание 2. Доказательство свойства перпендикуляра из центра окружности к хорде

Дано:

Окружность с центром в точке О. Хорда АВ. Точка С лежит на хорде АВ. ОС ⊥ АВ.

Доказать:

Точка С является серединой отрезка АВ (т.е. АС = СВ).

Чертеж:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔОСА и ΔОСВ.
2. ОА = ОВ, так как это радиусы одной окружности.
3. ОС — общая сторона для обоих треугольников.
4. ∠ОСА = ∠ОСВ = 90°, так как ОС ⊥ АВ (по условию).
5. Таким образом, треугольники ΔОСА и ΔОСВ являются прямоугольными.
6. По двум катетам и гипотенузе (или по гипотенузе и острому углу, если рассмотреть углы при основании хорды), эти треугольники равны: ΔОСА = ΔОСВ (по двум сторонам и углу между ними, либо по гипотенузе и катету: ОА=ОВ (гипотенузы), ОС (общий катет)).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: АС = СВ.
8. Следовательно, точка С является серединой отрезка АВ.

Доказано.