Задание 2. Докажите тождество: (3k + t)² - (3k - t)² - (t - 3k)(t + 3k) - (t + 3k)² + 2t(t - 3k) = 0.

Решение:

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

1. Раскроем первую пару скобок, используя формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\( (3k+t)^2 = (3k)^2 + 2(3k)(t) + t^2 = 9k^2 + 6kt + t^2 \)

1. Раскроем вторую пару скобок, используя формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\( (3k-t)^2 = (3k)^2 - 2(3k)(t) + t^2 = 9k^2 - 6kt + t^2 \)

1. Раскроем третью пару скобок, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\( (t-3k)(t+3k) = t^2 - (3k)^2 = t^2 - 9k^2 \)

1. Раскроем четвертую пару скобок. Обратим внимание, что \( (t+3k)^2 = (3k+t)^2 \), что мы уже раскрыли:

\( (t+3k)^2 = (3k+t)^2 = 9k^2 + 6kt + t^2 \)

1. Раскроем последнюю пару скобок, используя распределительное свойство:

\( 2t(t-3k) = 2t^2 - 6kt \)

1. Подставим полученные выражения обратно в исходное тождество:

\( (9k^2 + 6kt + t^2) - (9k^2 - 6kt + t^2) - (t^2 - 9k^2) - (9k^2 + 6kt + t^2) + (2t^2 - 6kt) \)

1. Упростим выражение, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые:

\( 9k^2 + 6kt + t^2 - 9k^2 + 6kt - t^2 - t^2 + 9k^2 - 9k^2 - 6kt - t^2 + 2t^2 - 6kt \)

1. Сгруппируем подобные слагаемые:

\( (9k^2 - 9k^2 + 9k^2 - 9k^2) + (6kt + 6kt - 6kt - 6kt) + (t^2 - t^2 - t^2 - t^2 + 2t^2) \)

1. Выполним сложение и вычитание:

\( 0 + 0 + 0 = 0 \)

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.