Задание №2. Две стороны треугольника равны 3 и 4, а угол между этими сторонами равен 60°. Решите этот треугольник. (Найдите все стороны и углы треугольника.) AB = 3, AC = 4, ∠A = 60°; найдите BC, cos ∠B и cos ∠C.

По теореме косинусов найдём третью сторону:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos60^\circ=13\).

Так как длина стороны положительна, \(BC=\sqrt{13}\).

Для угла B:

\(\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{9+13-16}{6\sqrt{13}}=\dfrac1{\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\).

Для угла C:

\(\cos C=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\dfrac{16+13-9}{8\sqrt{13}}=\dfrac5{2\sqrt{13}}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}\).

Найдём углы: \(A=60^\circ\), \(B=\arccos\left(\dfrac{\sqrt{13}}{13}\right)\approx73.9^\circ\), \(C=180^\circ-A-B\approx46.1^\circ\).

Ответ: \(AB=3\), \(AC=4\), \(BC=\sqrt{13}\); \(A=60^\circ\), \(B\approx73.9^\circ\), \(C\approx46.1^\circ\); \(\cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\), \(\cos C=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}\).