Задание №2. Из вершины тупого угла параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Оказалось, что образованный этими высотами треугольник составляет одну восьмую от площади всего параллелограмма. Найдите острый угол параллелограмма.

Обозначим острый угол параллелограмма через \(\alpha\), а его стороны — через \(a\) и \(b\). Синус тупого угла также равен \(\sin\alpha\).

Высоты, опущенные из вершины тупого угла на противоположные стороны, равны \(a\sin\alpha\) и \(b\sin\alpha\). Угол между высотами равен острому углу параллелограмма. Поэтому площадь образованного ими треугольника равна

\[S_{\triangle}=\frac12 ab\sin^2\alpha\cdot\sin\alpha=\frac12 ab\sin^3\alpha.\]

Площадь параллелограмма: \(S_{\text{пар}}=ab\sin\alpha\). По условию:

\[\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{пар}}}=\frac12\sin^2\alpha=\frac18.\]

Отсюда \(\sin^2\alpha=\frac14\), а поскольку угол острый, \(\sin\alpha=\frac12\). Следовательно, \(\alpha=30^\circ\).

Ответ: 30°.