Задание №2. Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Найдите величину угла $BAC$, если известно, что $\angle ACB=52^\circ$ и $AC=3BM$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание №2. Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Найдите величину угла…$ Фото задания

Accepted Answer

Центр тяжести делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому $BM=\frac{2}{3}BB_1$. Из условия $AC=3BM$, значит $AC=2BB_1$.

Обозначим $AC=b$, $BC=a$, $AB=c$, а длину медианы $BB_1$ — через $m_b$. Тогда $b=2m_b$. По теореме Аполлония для медианы:

\[4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2.\]

Так как $b=2m_b$, получаем $b^2=2a^2+2c^2-b^2$, то есть $b^2=a^2+c^2$. По обратной теореме Пифагора угол $B$ прямой.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$: $\angle BAC=180^\circ-90^\circ-52^\circ=38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.

Задание №2. Медианы \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(M\). Найдите величину угла \(BAC\), если известно, что \(\angle ACB=52^\circ\) и \(AC=3BM\).