Задание 2: На плоскости рассматриваются два базиса: старый \( \vec{e_1}, \vec{e_2} \) и новый \( \vec{e_1'}, \vec{e_2'} \). Укажите, какой будет матрица перехода от старого базиса к новому. Соотнесите.

Решение:

Матрица перехода от старого базиса \( (\vec{e_1}, \vec{e_2}) \) к новому \( (\vec{e_1'}, \vec{e_2'}) \) состоит из координат векторов нового базиса, выраженных через векторы старого базиса.

1. Известно, что:

\[ \vec{e_1'} = 2\vec{e_1} - 3\vec{e_2} \]\[ \vec{e_2'} = \vec{e_1} + 4\vec{e_2} \]

Матрица перехода от старого базиса к новому:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]

2. Известно, что:

\[ \vec{e_1'} = 2\vec{e_1} + \vec{e_2} \]\[ \vec{e_2'} = -3\vec{e_1} + 4\vec{e_2} \]

Матрица перехода от старого базиса к новому:

\[ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]

3. Известно, что:

\[ \vec{e_1'} = \vec{e_1} + 4\vec{e_2} \]\[ \vec{e_2'} = 2\vec{e_1} - 3\vec{e_2} \]

Матрица перехода от старого базиса к новому:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \]

Соотнесение:

• 1 — Б
• 2 — А
• 3 — В

Ответ: 1 — Б, 2 — А, 3 — В.